ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 146 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

По окружности двигаются в одном направлении две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 3 с дольше другой, а время между их последовательными встречами равно 6 с. За какое время каждая точка выполняет полный оборот?

Пусть \(x\) и \(y\) — угловые скорости точек, тогда \(x — y = 60\) и \(\frac{360}{y} — \frac{360}{x} = 3\). Подставляем \(y = x — 60\) в уравнение и получаем квадратное: \(x^2 — 60x — 7200 = 0\). Решая, находим \(x = 120\), \(y = 60\). Время оборота первой точки \(\frac{360}{120} = 3\) секунды, второй — \(\frac{360}{60} = 6\) секунд.

1) Пусть \(x\) град/с и \(y\) град/с — угловые скорости двух точек. Тогда время прохождения окружности первой точкой равно \(\frac{360}{x}\) секунд, а второй — \(\frac{360}{y}\) секунд.

2) По условию, первая точка проходит окружность на 3 секунды быстрее второй, значит
\(\frac{360}{y} — \frac{360}{x} = 3\).

3) Время между последовательными встречами точек равно 6 секунд, то есть
\(\frac{360}{x — y} = 6\).

4) Отсюда выразим разницу скоростей:
\(x — y = \frac{360}{6} = 60\),
значит
\(y = x — 60\).

5) Подставим \(y = x — 60\) в первое уравнение:
\(\frac{360}{x — 60} — \frac{360}{x} = 3\).

6) Умножим обе части уравнения на \(x(x — 60)\):
\(360x — 360(x — 60) = 3x(x — 60)\).

7) Раскроем скобки:
\(360x — 360x + 21600 = 3x^2 — 180x\),
упрощаем:
\(21600 = 3x^2 — 180x\).

8) Переносим все в левую часть уравнения:
\(3x^2 — 180x — 21600 = 0\),
делим на 3:
\(x^2 — 60x — 7200 = 0\).

9) Найдем дискриминант:
\(D = (-60)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 3600 + 28800 = 32400\).

10) Решаем уравнение:
\(x = \frac{60 \pm 180}{2}\).
Корни:
\(x_1 = \frac{60 — 180}{2} = -60\) (отрицательный, не подходит),
\(x_2 = \frac{60 + 180}{2} = 120\).

11) Тогда
\(x = 120\) град/с,
\(y = 120 — 60 = 60\) град/с.

12) Время прохождения окружности:
первая точка \(\frac{360}{120} = 3\) секунды,
вторая точка \(\frac{360}{60} = 6\) секунд.