ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 147 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Дорога длиной 30 км, соединяющая село и железнодорожную станцию, идёт сначала с горы, а затем вверх. Из села на станцию велосипедист едет 2 ч 12 мин, а со станции — 2 ч 18 мин. С какой скоростью велосипедист едет с горы и с какой вверх, если его скорость на подъёме на 3 км/ч меньше его скорости на спуске?

Пусть \( x \) км/ч — скорость велосипедиста на спуске, тогда скорость на подъёме \( x — 3 \) км/ч. Длина дороги 30 км, из них \( y \) км — спуск, тогда подъём \( 30 — y \) км.

Время в пути из села на станцию:
\(\frac{y}{x} + \frac{30 — y}{x — 3} = 2 + \frac{12}{60} = \frac{132}{60}\) часов.

Время в обратном пути:
\(\frac{y}{x — 3} + \frac{30 — y}{x} = 2 + \frac{18}{60} = \frac{138}{60}\) часов.

Решая систему, получаем уравнение:
\(3x^2 — 49x + 60 = 0\).

Корни:
\(x_1 = 15\), \(x_2 = \frac{4}{3}\) (отрицательное значение скорости не подходит).

Скорость на спуске \(x = 15\) км/ч, на подъёме \(x — 3 = 12\) км/ч.

Ответ: скорость на спуске 15 км/ч, скорость на подъёме 12 км/ч.

1) Пусть \( x \) км/ч — скорость движения велосипедиста на спуске, а \( y \) км — длина дороги на спуск. Тогда скорость на подъёме будет \( x — 3 \) км/ч, а длина дороги на подъём \( 30 — y \) км.

Время, потраченное на спуск: \( \frac{y}{x} \) часов.
Время, потраченное на подъём: \( \frac{30 — y}{x — 3} \) часов.

2) По условию, время в пути из села на станцию равно 2 ч 12 мин, то есть \( 2 + \frac{12}{60} = \frac{132}{60} \) часов, а время в обратном направлении равно 2 ч 18 мин, то есть \( 2 + \frac{18}{60} = \frac{138}{60} \) часов.

Составим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\frac{y}{x} + \frac{30 — y}{x — 3} = \frac{132}{60} \\
\frac{y}{x — 3} + \frac{30 — y}{x} = \frac{138}{60}
\end{cases}
\]

3) Сложим два уравнения:
\[
\frac{y}{x} + \frac{30 — y}{x — 3} + \frac{y}{x — 3} + \frac{30 — y}{x} = \frac{132}{60} + \frac{138}{60}
\]

Перегруппируем слагаемые:
\[
\left( \frac{y}{x} + \frac{30 — y}{x} \right) + \left( \frac{y}{x — 3} + \frac{30 — y}{x — 3} \right) = \frac{270}{60}
\]

Упростим:
\[
\frac{30}{x} + \frac{30}{x — 3} = \frac{270}{60} = 4.5
\]

4) Домножим уравнение на \( 2x(x — 3) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
2x(x — 3) \cdot \left( \frac{30}{x} + \frac{30}{x — 3} \right) = 2x(x — 3) \cdot 4.5
\]

Раскроем скобки:
\[
30 \cdot 2(x — 3) + 30 \cdot 2x = 9x^2 — 27x
\]

Получаем:
\[
60(x — 3) + 60x = 9x^2 — 27x
\]

Раскроем скобки слева:
\[
60x — 180 + 60x = 9x^2 — 27x
\]

Сложим подобные:
\[
120x — 180 = 9x^2 — 27x
\]

Перенесём все в одну сторону:
\[
9x^2 — 27x — 120x + 180 = 0
\]

Упростим:
\[
9x^2 — 147x + 180 = 0
\]

Разделим на 3:
\[
3x^2 — 49x + 60 = 0
\]

5) Найдём дискриминант:
\[
D = (-49)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 60 = 2401 — 720 = 1681
\]

6) Найдём корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{49 — \sqrt{1681}}{2 \cdot 3} = \frac{49 — 41}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]

\[
x_2 = \frac{49 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 3} = \frac{49 + 41}{6} = \frac{90}{6} = 15
\]

7) Проверим скорости на подъёме:
\[
x_1 — 3 = \frac{4}{3} — 3 = \frac{4}{3} — \frac{9}{3} = -\frac{5}{3} < 0 \] Скорость не может быть отрицательной, значит \( x = 15 \) км/ч. 8) Скорость на подъёме: \[ 15 - 3 = 12 \text{ км/ч}. \] Ответ: скорость на спуске 15 км/ч, скорость на подъёме 12 км/ч. 1) Пусть \( x \) км/ч — скорость движения велосипедиста на спуске, а \( y \) км — длина дороги на спуск. Тогда скорость на подъёме \( x - 3 \) км/ч, а длина дороги на подъём \( 30 - y \) км. Время на спуск: \( \frac{y}{x} \) ч, время на подъём: \( \frac{30 - y}{x - 3} \) ч. 2) По условию, время в пути из села на станцию равно \( 2 \) ч \( 12 \) мин, то есть \( 2 + \frac{12}{60} = \frac{132}{60} \) ч, а время в обратном направлении равно \( 2 \) ч \( 18 \) мин, то есть \( 2 + \frac{18}{60} = \frac{138}{60} \) ч. Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{y}{x} + \frac{30 - y}{x - 3} = \frac{132}{60} \\ \frac{y}{x - 3} + \frac{30 - y}{x} = \frac{138}{60} \end{cases} \] 3) Сложим уравнения: \[ \frac{y}{x} + \frac{30 - y}{x - 3} + \frac{y}{x - 3} + \frac{30 - y}{x} = \frac{132}{60} + \frac{138}{60} \] Перегруппируем: \[ \left(\frac{y}{x} + \frac{30 - y}{x}\right) + \left(\frac{y}{x - 3} + \frac{30 - y}{x - 3}\right) = \frac{270}{60} \] Упростим: \[ \frac{30}{x} + \frac{30}{x - 3} = 4.5 \] 4) Домножим на \( 2x(x - 3) \): \[ 2x(x - 3) \cdot \left(\frac{30}{x} + \frac{30}{x - 3}\right) = 2x(x - 3) \cdot 4.5 \] Раскроем скобки: \[ 60(x - 3) + 60x = 9x^2 - 27x \] Раскроем левую часть: \[ 60x - 180 + 60x = 9x^2 - 27x \] Сложим: \[ 120x - 180 = 9x^2 - 27x \] Перенесём всё в левую сторону: \[ 9x^2 - 27x - 120x + 180 = 0 \] Упростим: \[ 9x^2 - 147x + 180 = 0 \] Разделим на 3: \[ 3x^2 - 49x + 60 = 0 \] 5) Найдём дискриминант: \[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 60 = 2401 - 720 = 1681 \] 6) Найдём корни: \[ x_1 = \frac{49 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 3} = \frac{49 - 41}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] \[ x_2 = \frac{49 + \sqrt{1681}}{6} = \frac{90}{6} = 15 \] 7) Проверим скорость на подъёме для \( x_1 \): \[ x_1 - 3 = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3} < 0 \] Отрицательная скорость невозможна, значит \( x = 15 \) км/ч. 8) Скорость на подъёме: \[ 15 - 3 = 12 \text{ км/ч}. \] Ответ: 15 км/ч; 12 км/ч.