ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 148 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

От двух пристаней \(C\) и \(D\) отошли одновременно навстречу друг другу катер и лодка соответственно. Катер прибыл в \(D\) через 3 ч 45 мин после встречи с лодкой, а лодка в \(C\) — через 1 ч 40 мин. За какое время каждый из них проплывёт расстояние между \(C\) и \(D\)?

Пусть скорости катера и лодки соответственно \(x\) и \(y\) км/ч, а время до встречи \(t\) часов.

После встречи катер прошёл \(3 \frac{45}{60} x = \frac{15}{4} x\) км, лодка — \(1 \frac{40}{60} y = \frac{5}{3} y\) км.

По условию каждый после встречи прошёл расстояние, равное расстоянию, которое прошёл другой до встречи:

\(t x = \frac{5}{3} y\),
\(t y = \frac{15}{4} x\).

Разделим первое уравнение на второе:

\(\frac{t x}{t y} = \frac{\frac{5}{3} y}{\frac{15}{4} x} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{y}{x} = \frac{4}{9} \frac{y}{x}\).

Отсюда \(\frac{x^2}{y^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2}{3}\).

Подставим в первое уравнение:

\(t \cdot \frac{2}{3} y = \frac{5}{3} y \Rightarrow t = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) часа = 2 часа 30 минут.

Время всего пути катера: \(3 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин}\).

Время всего пути лодки: \(1 \text{ ч } 40 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 4 \text{ ч } 10 \text{ мин}\).

Ответ: катер — 6 ч 15 мин, лодка — 4 ч 10 мин.

1) Рассмотрим задачу подробнее. Пусть скорости катера и лодки равны \(x\) км/ч и \(y\) км/ч соответственно. Время, которое они шли до встречи, обозначим через \(t\) часов. Тогда расстояние, которое прошёл катер до встречи, будет равно \(t x\), а расстояние, которое прошла лодка до встречи, равно \(t y\). После встречи катер продолжил движение ещё 3 часа 45 минут, что в часах равно \(3 + \frac{45}{60} = \frac{15}{4}\) часов, следовательно, он прошёл после встречи расстояние \( \frac{15}{4} x \). Аналогично, лодка после встречи шла 1 час 40 минут, или \(1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}\) часа, и прошла расстояние \( \frac{5}{3} y \).

2) По условию задачи после встречи каждый из них прошёл расстояние, равное расстоянию, которое прошёл другой до встречи. Это значит, что катер после встречи прошёл столько же, сколько лодка до встречи, а лодка после встречи прошла столько же, сколько катер до встречи. Запишем эти равенства в виде уравнений:

\( t x = \frac{5}{3} y \),

\( t y = \frac{15}{4} x \).

Эти уравнения выражают взаимосвязь между скоростями и временем до встречи. Первое уравнение говорит, что расстояние, пройденное катером до встречи, умноженное на время, равно расстоянию, пройденному лодкой после встречи, и наоборот во втором уравнении.

3) Чтобы найти отношение скоростей \( \frac{x}{y} \), разделим первое уравнение на второе:

\[
\frac{t x}{t y} = \frac{\frac{5}{3} y}{\frac{15}{4} x} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{y}{x} = \frac{4}{9} \frac{y}{x}
\]

Умножая обе части на \( \frac{x}{y} \), получаем:

\[
\left(\frac{x}{y}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]

Отсюда извлекаем корень:

\[
\frac{x}{y} = \frac{2}{3}
\]

Это означает, что скорость катера равна двум третям скорости лодки.

4) Подставим найденное отношение скоростей в первое уравнение для нахождения времени \(t\):

\[
t \cdot \frac{2}{3} y = \frac{5}{3} y \Rightarrow t = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \text{ часа}
\]

Время до встречи равно 2 часа 30 минут.

5) Теперь найдём общее время пути каждого из них. Катер шёл до встречи \(t = 2{,}5\) часа и после встречи ещё \(3 \frac{45}{60} = \frac{15}{4} = 3{,}75\) часа. Сложим эти времена:

\[
2{,}5 + 3{,}75 = 6{,}25 \text{ часа} = 6 \text{ часов } 15 \text{ минут}
\]

Лодка шла до встречи 2,5 часа и после встречи \(1 \frac{40}{60} = \frac{5}{3} \approx 1{,}6667\) часа, итого:

\[
2{,}5 + \frac{5}{3} = \frac{15}{6} + \frac{10}{6} = \frac{25}{6} \approx 4{,}1667 \text{ часа} = 4 \text{ часа } 10 \text{ минут}
\]

Ответ: катер шёл 6 часов 15 минут, лодка — 4 часа 10 минут.