ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 15 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(2 < a < 5\) и \(1 < b < 3\). Оцените значение выражения:
1) \(a + b\);
2) \(b — a\);
3) \(ab\);
4) \(\frac{b}{a}\);
5) \(3a + 2b\);
6) \(4a — 3b\);
7) \(\frac{5a}{2b}\);
8) \(\frac{0,4a — 0,2b}{0,7a — 0,3b}\).

1) \(3 < a + b < 8\)
2) \(-4 < b — a < 1\)
3) \(2 < ab < 15\)
4) \(0.2 < \frac{b}{a} < 1.5\)
5) \(8 < 3a + 2b < 21\)
6) \(-1 < 4a — 3b < 17\)
7) \(\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12\frac{1}{2}\)
8) \( \frac{1}{16} < \frac{0.4a — 0.2b}{0.7a — 0.3b} < \frac{3}{5} \)

1) Известно, что \(2 < a < 5\) и \(1 < b < 3\). Тогда сумма \(a + b\) удовлетворяет неравенству:
\(2 + 1 < a + b < 5 + 3\),
откуда
\(3 < a + b < 8\).

2) Разность \(b — a\) оцениваем так:
\(1 — 5 < b — a < 3 — 2\),
то есть
\(-4 < b — a < 1\).

3) Произведение \(ab\) ограничено произведениями крайних значений:
\(2 \cdot 1 < ab < 5 \cdot 3\),
следовательно
\(2 < ab < 15\).

4) Отношение \(\frac{b}{a}\) оцениваем через обратные значения:
\(\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}\),
умножая на \(b\), получаем
\(\frac{1}{5} < \frac{b}{a} < \frac{3}{2}\),
или в десятичном виде
\(0.2 < \frac{b}{a} < 1.5\).

5) Выражение \(3a + 2b\) оцениваем по частям:
\(6 < 3a < 15\) и \(2 < 2b < 6\),
суммируем:
\(6 + 2 < 3a + 2b < 15 + 6\),
то есть
\(8 < 3a + 2b < 21\).

6) Для \(4a — 3b\) имеем:
\(8 < 4a < 20\) и \(3 < 3b < 9\),
тогда
\(8 — 9 < 4a — 3b < 20 — 3\),
получаем
\(-1 < 4a — 3b < 17\).

7) Для дроби \(\frac{5a}{2b}\) применяем границы:
\(10 < 5a < 25\) и \(2 < 2b < 6\),
делим:
\(\frac{10}{6} < \frac{5a}{2b} < \frac{25}{2}\),
сокращаем:
\(\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12\frac{1}{2}\).

8) Рассмотрим выражение \(\frac{0.4a — 0.2b}{0.7a — 0.3b}\).
Оценим числитель:
\(0.8 < 0.4a < 2\) и \(0.2 < 0.2b < 0.6\),
следовательно
\(0.8 — 0.6 < 0.4a — 0.2b < 2 — 0.2\),
то есть
\(0.2 < 0.4a — 0.2b < 1.8\).

Оценим знаменатель:
\(1.4 < 0.7a < 3.5\) и \(0.3 < 0.3b < 0.9\),
следовательно
\(1.4 — 0.9 < 0.7a — 0.3b < 3.5 — 0.3\),
то есть
\(0.5 < 0.7a — 0.3b < 3.2\).

Теперь оценим отношение:
\(\frac{0.2}{3.2} < \frac{0.4a — 0.2b}{0.7a — 0.3b} < \frac{1.8}{0.5}\),
или
\(\frac{1}{16} < \frac{0.4a — 0.2b}{0.7a — 0.3b} < \frac{3}{5}\).