ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 151 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

В течение года завод дважды увеличивал еженедельный выпуск продукции на одно и то же количество процентов. На сколько процентов увеличивался каждый раз выпуск продукции, если в начале года завод выпускал 1200 изделий в неделю, а в конце года — 1587 изделий?

Пусть \(p\%\) — процент увеличения.

По формуле сложных процентов:
\(1587 = 1200 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\).

Разделим обе части на 1200:
\(\frac{1587}{1200} = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\).

Вычислим дробь:
\(\frac{1587}{1200} = 1.3225\).

Извлечём квадратный корень:
\(1 + \frac{p}{100} = \sqrt{1.3225} = 1.15\).

Отсюда
\(\frac{p}{100} = 0.15\),
то есть
\(p = 15\%\).

Ответ: 15%.

1. Для начала обозначим искомый процент увеличения выпускаемых изделий через переменную \(p\%\). Это означает, что если изначально выпуск составлял 1200 изделий, то после первого года выпуска увеличится на \(p\%\), а через два года — увеличится ещё раз на тот же процент \(p\%\) от нового количества изделий. Таким образом, увеличение происходит по формуле сложного процента, где каждый последующий год увеличение считается от уже увеличенного количества.

2. Запишем уравнение, отражающее ситуацию: через два года количество изделий стало 1587, исходное количество — 1200. Тогда по формуле сложных процентов имеем
\(1587 = 1200 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\).
Здесь \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\) — множитель увеличения за один год, возведённый в квадрат, потому что увеличение происходит два раза подряд. Следующий шаг — упростить это уравнение, разделив обе части на 1200, чтобы изолировать степень:
\(\frac{1587}{1200} = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\).

3. Теперь вычислим дробь слева: \(\frac{1587}{1200}\). Чтобы упростить, найдём наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Число 1587 делится на 3, так как сумма цифр 1+5+8+7=21 делится на 3. Аналогично 1200 делится на 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:
\(\frac{1587}{1200} = \frac{529}{400}\).
Таким образом, уравнение принимает вид
\(\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{529}{400}\).

4. Чтобы найти \(p\), извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{529}{400}} = \frac{\sqrt{529}}{\sqrt{400}} = \frac{23}{20}\),
поскольку \(\sqrt{529} = 23\) и \(\sqrt{400} = 20\).

5. Теперь выразим \(p\) из уравнения:
\(\frac{p}{100} = \frac{23}{20} — 1 = \frac{23}{20} — \frac{20}{20} = \frac{3}{20}\).
Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от знаменателя:
\(p = 100 \cdot \frac{3}{20} = 15\).
Таким образом, процент увеличения выпуска изделий составляет 15%.