ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 153 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500 000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год процентная ставка была уменьшена на 2 %. В конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть процентная ставка в первый год была \(x\%\).

Тогда через год сумма с процентами станет \(500000 \times (1 + \frac{x}{100})\).

Во второй год ставка уменьшилась на 2%, то есть стала \(x — 2\%\).

К концу второго года сумма с процентами будет
\(500000 \times (1 + \frac{x}{100}) \times (1 + \frac{x-2}{100}) = 708000\).

Решаем уравнение:

\[
(1 + \frac{x}{100})(1 + \frac{x-2}{100}) = \frac{708000}{500000} = 1.416
\]

Раскрываем скобки:

\[
1 + \frac{x}{100} + \frac{x-2}{100} + \frac{x(x-2)}{10000} = 1.416
\]

\[
1 + \frac{2x — 2}{100} + \frac{x^2 — 2x}{10000} = 1.416
\]

Умножаем на 10000 для удобства:

\[
10000 + 100 \times (2x — 2) + x^2 — 2x = 14160
\]

\[
10000 + 200x — 200 + x^2 — 2x = 14160
\]

\[
x^2 + 198x + 9800 = 14160
\]

\[
x^2 + 198x — 4360 = 0
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
x = \frac{-198 \pm \sqrt{198^2 + 4 \times 4360}}{2}
\]

\[
x = \frac{-198 \pm \sqrt{39204 + 17440}}{2} = \frac{-198 \pm \sqrt{56644}}{2}
\]

\[
\sqrt{56644} \approx 238
\]

Берём положительный корень:

\[
x = \frac{-198 + 238}{2} = \frac{40}{2} = 20
\]

Ответ: ставка в первый год была 20%.

1. Пусть процентная ставка в первый год равна \( x\% \). Тогда сумма кредита с учётом процентов через первый год будет равна \( 500000 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) \).

2. Во второй год процентная ставка уменьшается на 2%, то есть становится \( x — 2\% \).

3. Сумма с учётом процентов за второй год будет равна произведению суммы после первого года и коэффициента роста за второй год: \( 500000 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 + \frac{x-2}{100}\right) \).

4. Из условия известно, что в конце второго года предприниматель возвращает банку 708000 рублей, следовательно:
\( 500000 \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 + \frac{x-2}{100}\right) = 708000 \).

5. Разделим обе части уравнения на 500000:
\( \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 + \frac{x-2}{100}\right) = \frac{708000}{500000} = 1.416 \).

6. Раскроем скобки:
\( 1 + \frac{x}{100} + \frac{x-2}{100} + \frac{x(x-2)}{10000} = 1.416 \).

7. Сложим и упростим:
\( 1 + \frac{2x — 2}{100} + \frac{x^2 — 2x}{10000} = 1.416 \).

8. Умножим уравнение на 10000 для удобства:
\( 10000 + 100 \times (2x — 2) + x^2 — 2x = 14160 \).

9. Раскроем скобки и приведём подобные члены:
\( 10000 + 200x — 200 + x^2 — 2x = 14160 \),
\( x^2 + 198x + 9800 = 14160 \).

10. Перенесём все в левую часть:
\( x^2 + 198x + 9800 — 14160 = 0 \),
\( x^2 + 198x — 4360 = 0 \).

Решим квадратное уравнение по формуле:
\( x = \frac{-198 \pm \sqrt{198^2 — 4 \times 1 \times (-4360)}}{2} = \frac{-198 \pm \sqrt{39204 + 17440}}{2} = \frac{-198 \pm \sqrt{56644}}{2} \).

Вычислим корень:
\( \sqrt{56644} \approx 238 \).

Берём положительный корень:
\( x = \frac{-198 + 238}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).

Ответ: процентная ставка в первый год была 20%.