ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 154 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была меньше 20 %. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть \( x \) кг — первоначальная масса раствора. Содержание соли было \(\frac{3}{x} \cdot 100\%\), оно меньше 20%, значит \(\frac{3}{x} \leq \frac{1}{5}\), откуда \( x \geq 15 \).

После добавления 6 кг соли содержание стало \(\frac{3+6}{x+6} \cdot 100\%\). Процент увеличился на 15%, значит

\[
\frac{3+6}{x+6} \cdot 100 — \frac{3}{x} \cdot 100 = 15.
\]

Решая уравнение:

\[
\frac{9}{x+6} — \frac{3}{x} = \frac{15}{100} = 0.15,
\]

\[
\frac{9x — 3(x+6)}{x(x+6)} = 0.15,
\]

\[
\frac{9x — 3x — 18}{x^2 + 6x} = 0.15,
\]

\[
\frac{6x — 18}{x^2 + 6x} = 0.15,
\]

\[
6x — 18 = 0.15(x^2 + 6x),
\]

\[
6x — 18 = 0.15x^2 + 0.9x,
\]

\[
0.15x^2 + 0.9x — 6x + 18 = 0,
\]

\[
0.15x^2 — 5.1x + 18 = 0,
\]

умножим на 20 для удобства:

\[
3x^2 — 102x + 360 = 0,
\]

делим на 3:

\[
x^2 — 34x + 120 = 0.
\]

Дискриминант:

\[
D = 34^2 — 4 \cdot 120 = 1156 — 480 = 676,
\]

корни:

\[
x_1 = \frac{34 — 26}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{34 + 26}{2} = 30.
\]

Так как \( x \geq 15 \), выбираем \( x = 30 \).

Ответ: \( 30 \) кг.

Пусть масса первоначального раствора равна \( x \) килограммам. Из условия известно, что в этом растворе содержится 3 кг соли. Тогда процентное содержание соли в растворе можно выразить как отношение массы соли к общей массе раствора, умноженное на 100%, то есть \( \frac{3}{x} \cdot 100 \%\). Так как в условии сказано, что процент соли в растворе меньше 20%, получаем неравенство \( \frac{3}{x} \cdot 100 < 20 \), что эквивалентно \( \frac{3}{x} < \frac{1}{5} \). Решая это неравенство относительно \( x \), получаем \( x > 15 \). Таким образом, масса раствора должна быть больше 15 кг, чтобы содержание соли было менее 20%.

Далее, после того как в раствор добавили 6 кг соли, общая масса раствора увеличилась до \( x + 6 \) кг, а масса соли стала равна \( 3 + 6 = 9 \) кг. Процентное содержание соли в новом растворе теперь равно \( \frac{9}{x + 6} \cdot 100 \%\). По условию, процент соли увеличился на 15%, то есть разница между новым и первоначальным процентным содержанием соли равна 15%. Запишем это в виде уравнения: \( \frac{9}{x + 6} \cdot 100 — \frac{3}{x} \cdot 100 = 15 \). Упростим уравнение, разделив обе части на 100: \( \frac{9}{x + 6} — \frac{3}{x} = 0.15 \).

Для решения уравнения приведём левую часть к общему знаменателю: \( \frac{9x — 3(x + 6)}{x(x + 6)} = 0.15 \). Раскроем скобки в числителе: \( 9x — 3x — 18 = 6x — 18 \). Получаем уравнение \( \frac{6x — 18}{x^2 + 6x} = 0.15 \). Умножим обе части на знаменатель, чтобы избавиться от дроби: \( 6x — 18 = 0.15(x^2 + 6x) \). Раскроем правую часть: \( 6x — 18 = 0.15x^2 + 0.9x \). Перенесём все члены в одну сторону: \( 0.15x^2 + 0.9x — 6x + 18 = 0 \), что упрощается до \( 0.15x^2 — 5.1x + 18 = 0 \).

Для удобства умножим уравнение на 20, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов: \( 3x^2 — 102x + 360 = 0 \). Разделим всё уравнение на 3: \( x^2 — 34x + 120 = 0 \). Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -34 \), \( c = 120 \). Получаем \( D = (-34)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 — 480 = 676 \). Извлекая корень, находим \( \sqrt{676} = 26 \). Корни квадратного уравнения вычисляем по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), что даёт \( x_1 = \frac{34 — 26}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{34 + 26}{2} = 30 \).

Возвращаясь к первоначальному ограничению \( x > 15 \), исключаем корень \( x = 4 \), так как он не удовлетворяет условию. Следовательно, масса первоначального раствора равна \( x = 30 \) кг. Таким образом, изначально было 30 кг раствора с 3 кг соли, и после добавления 6 кг соли масса раствора стала 36 кг, а содержание соли увеличилось на 15%.