ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 178 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре первых члена последовательности \((a_n)\), заданной формулой n-го члена:
1) \(a_n = 5 — n\);
2) \(a_n = 3n + 1\);
3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\);
4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\).

1) \(a_n = 5 — n\)
\(a_1 = 5 — 1 = 4\)
\(a_2 = 5 — 2 = 3\)
\(a_3 = 5 — 3 = 2\)
\(a_4 = 5 — 4 = 1\)
Ответ: 4, 3, 2, 1.

2) \(a_n = 3n + 1\)
\(a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\)
\(a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10\)
\(a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13\)
Ответ: 4, 7, 10, 13.

3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\)
\(a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\)
\(a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}\)
Ответ: 2, \(2\frac{1}{2}\), \(3\frac{1}{3}\), \(4\frac{1}{4}\).

4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\)
\(a_1 = \frac{5^1}{(1+1)^2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\)
\(a_2 = \frac{5^2}{(2+1)^2} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}\)
\(a_3 = \frac{5^3}{(3+1)^2} = \frac{125}{16} = 7\frac{13}{16}\)
\(a_4 = \frac{5^4}{(4+1)^2} = \frac{625}{25} = 25\)
Ответ: \(1\frac{1}{4}\), \(2\frac{7}{9}\), \(7\frac{13}{16}\), 25.

1) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = 5 — n\). Эта формула говорит нам, что каждый член последовательности получается вычитанием номера члена \(n\) из числа 5. Для вычисления первого члена подставляем \(n=1\), получаем \(a_1 = 5 — 1 = 4\). Это означает, что первый член равен 4. Аналогично, для второго члена подставляем \(n=2\), тогда \(a_2 = 5 — 2 = 3\). Второй член меньше первого на 1. Продолжая в том же духе, третий член равен \(a_3 = 5 — 3 = 2\), а четвёртый \(a_4 = 5 — 4 = 1\). Таким образом, последовательность убывает на 1 с каждым шагом. Итоговый ряд первых четырёх членов выглядит так: 4, 3, 2, 1.

2) В данном случае формула для членов последовательности имеет вид \(a_n = 3n + 1\). Здесь каждый член равен произведению номера члена на 3 плюс 1. Для первого члена \(n=1\), значит \(a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\). Второй член вычисляется так: \(a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\). Видно, что последовательность растёт, прибавляя по 3 к предыдущему члену. Третий член: \(a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10\). Четвёртый: \(a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13\). Последовательность состоит из чисел 4, 7, 10, 13, каждое следующее на 3 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью 3.

3) Формула \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\) показывает, что каждый член равен сумме квадрата номера члена и 1, делённой на номер члена. Для первого члена \(a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2\). Второй член: \(a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}\). Третий: \(a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}\). Четвёртый: \(a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{17}{4} = 4 \frac{1}{4}\). Здесь видно, что члены последовательности растут и имеют дробные значения, которые можно представить в виде смешанных чисел. Это показывает, что при увеличении \(n\) значение \(a_n\) стремится к \(n\), так как \(\frac{n^2 + 1}{n} = n + \frac{1}{n}\).

4) Последовательность определяется формулой \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\). Здесь числитель — это число 5 в степени \(n\), а знаменатель — квадрат числа \(n+1\). Для \(n=1\) получаем \(a_1 = \frac{5^1}{(1+1)^2} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}\). Для второго члена: \(a_2 = \frac{5^2}{(2+1)^2} = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}\). Третий член: \(a_3 = \frac{5^3}{(3+1)^2} = \frac{125}{16} = 7 \frac{13}{16}\). Четвёртый: \(a_4 = \frac{5^4}{(4+1)^2} = \frac{625}{25} = 25\). Здесь числитель растёт экспоненциально, а знаменатель — квадратично, поэтому значения членов быстро увеличиваются. Последовательность: 1 \(\frac{1}{4}\), 2 \(\frac{7}{9}\), 7 \(\frac{13}{16}\), 25.