ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 178 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре первых члена последовательности \((a_n)\), заданной формулой n-го члена:
1) \(a_n = 5 — n\);
2) \(a_n = 3n + 1\);
3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\);
4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\).

1) \(a_n = 5 — n\)
\(a_1 = 5 — 1 = 4\)
\(a_2 = 5 — 2 = 3\)
\(a_3 = 5 — 3 = 2\)
\(a_4 = 5 — 4 = 1\)
Ответ: 4, 3, 2, 1.

2) \(a_n = 3n + 1\)
\(a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\)
\(a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10\)
\(a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13\)
Ответ: 4, 7, 10, 13.

3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\)
\(a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\)
\(a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}\)
Ответ: 2, \(2\frac{1}{2}\), \(3\frac{1}{3}\), \(4\frac{1}{4}\).

4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\)
\(a_1 = \frac{5^1}{(1+1)^2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\)
\(a_2 = \frac{5^2}{(2+1)^2} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}\)
\(a_3 = \frac{5^3}{(3+1)^2} = \frac{125}{16} = 7\frac{13}{16}\)
\(a_4 = \frac{5^4}{(4+1)^2} = \frac{625}{25} = 25\)
Ответ: \(1\frac{1}{4}\), \(2\frac{7}{9}\), \(7\frac{13}{16}\), 25.

1) \(a_n = 5 — n\)
Найдем первые четыре члена, подставляя значения \(n\) от 1 до 4:
\(a_1 = 5 — 1 = 4\)
\(a_2 = 5 — 2 = 3\)
\(a_3 = 5 — 3 = 2\)
\(a_4 = 5 — 4 = 1\)
Ответ: 4; 3; 2; 1.

2) \(a_n = 3n + 1\)
Подставим значения \(n\) от 1 до 4:
\(a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\)
\(a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10\)
\(a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13\)
Ответ: 4; 7; 10; 13.

3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\)
Вычислим первые четыре члена:
\(a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\)
\(a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{16 + 1}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}\)
Ответ: 2; 2\(\frac{1}{2}\); 3\(\frac{1}{3}\); 4\(\frac{1}{4}\).

4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\)
Подставим значения \(n\) от 1 до 4:
\(a_1 = \frac{5^1}{(1+1)^2} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\)
\(a_2 = \frac{5^2}{(2+1)^2} = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}\)
\(a_3 = \frac{5^3}{(3+1)^2} = \frac{125}{4^2} = \frac{125}{16} = 7\frac{13}{16}\)
\(a_4 = \frac{5^4}{(4+1)^2} = \frac{625}{5^2} = \frac{625}{25} = 25\)
Ответ: 1\(\frac{1}{4}\); 2\(\frac{7}{9}\); 7\(\frac{13}{16}\); 25.
1) \(a_n = 5 — n\)
Найдем первые четыре члена:
\(a_1 = 5 — 1 = 4\)
\(a_2 = 5 — 2 = 3\)
\(a_3 = 5 — 3 = 2\)
\(a_4 = 5 — 4 = 1\)
Ответ: 4; 3; 2; 1.

2) \(a_n = 3n + 1\)
Вычислим первые четыре члена:
\(a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\)
\(a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10\)
\(a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13\)
Ответ: 4; 7; 10; 13.

3) \(a_n = \frac{n^2 + 1}{n}\)
Рассчитаем первые четыре члена:
\(a_1 = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(a_2 = \frac{2^2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\)
\(a_3 = \frac{3^2 + 1}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{4^2 + 1}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}\)
Ответ: 2; 2\(\frac{1}{2}\); 3\(\frac{1}{3}\); 4\(\frac{1}{4}\).

4) \(a_n = \frac{5^n}{(n+1)^2}\)
Подставим значения:
\(a_1 = \frac{5^1}{(1+1)^2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\)
\(a_2 = \frac{5^2}{(2+1)^2} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}\)
\(a_3 = \frac{5^3}{(3+1)^2} = \frac{125}{16} = 7\frac{13}{16}\)
\(a_4 = \frac{5^4}{(4+1)^2} = \frac{625}{25} = 25\)
Ответ: 1\(\frac{1}{4}\); 2\(\frac{7}{9}\); 7\(\frac{13}{16}\); 25.
\(a_2 = 99 — 9 = 90\)
\(a_3 = 90 — 9 = 81\)
\(a_4 = 81 — 9 = 72\)
\(a_5 = 72 — 9 = 63\)
Ответ: 99; 90; 81; 72; 63.

2) Правильные обыкновенные дроби с числителем 19, взятые в порядке убывания.
Дроби имеют вид \(\frac{19}{n}\), где \(n\) — натуральное число больше 1. Для убывания знаменатель увеличивается с 1 до 5, так как при увеличении знаменателя дробь уменьшается:
\(a_1 = \frac{19}{1+1} = \frac{19}{2}\)
\(a_2 = \frac{19}{2+1} = \frac{19}{3}\)
\(a_3 = \frac{19}{3+1} = \frac{19}{4}\)
\(a_4 = \frac{19}{4+1} = \frac{19}{5}\)
\(a_5 = \frac{19}{5+1} = \frac{19}{6}\)
Ответ: \(\frac{19}{2}; \frac{19}{3}; \frac{19}{4}; \frac{19}{5}; \frac{19}{6}\).

3) Натуральные числа, дающие при делении на 7 остаток 4, взятые в порядке возрастания.
Числа имеют вид \(7k + 4\), где \(k\) — натуральное число, начиная с 1:
\(a_1 = 7 \cdot 1 + 4 = 11\)
\(a_2 = 7 \cdot 2 + 4 = 18\)
\(a_3 = 7 \cdot 3 + 4 = 25\)
\(a_4 = 7 \cdot 4 + 4 = 32\)
\(a_5 = 7 \cdot 5 + 4 = 39\)
Ответ: 11; 18; 25; 32; 39.