ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 181 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((x_n)\) задана формулой n-го члена \(x_n = \frac{(-1)^n — 1}{4}\). Найдите:

1) \(x_1\);

2) \(x_8\);

3) \(x_{24}\);

4) \(x_{24+1}\).

1) \(x_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{4} = \frac{(-1)^0}{4} = \frac{1}{4} = 0,25\);

2) \(x_8 = \frac{(-1)^{8-1}}{4} = \frac{(-1)^7}{4} = \frac{-1}{4} = -0,25\);

3) \(x_{24} = \frac{(-1)^{24-1}}{4} = \frac{(-1)^{23}}{4} = \frac{-1}{4} = -0,25\);

4) \(x_{25} = \frac{(-1)^{25-1}}{4} = \frac{(-1)^{24}}{4} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Последовательность задана формулой \( x_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4} \). Это означает, что каждый член последовательности определяется степенью числа \(-1\), возведённого в степень \(n-1\), и делением результата на 4. Показатель степени \(n-1\) изменяется с ростом \(n\), что приводит к чередованию знаков членов последовательности.

Для первого члена последовательности \(x_1\) подставляем \(n=1\): получаем \(x_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{4} = \frac{(-1)^0}{4}\). Так как любое число в нулевой степени равно 1, то \((-1)^0 = 1\). Следовательно, \(x_1 = \frac{1}{4} = 0,25\). Это положительное число, и оно задаёт начальный элемент последовательности.

Для восьмого члена \(x_8\) подставляем \(n=8\): \(x_8 = \frac{(-1)^{8-1}}{4} = \frac{(-1)^7}{4}\). Поскольку степень 7 — нечётная, \((-1)^7 = -1\). Таким образом, \(x_8 = \frac{-1}{4} = -0,25\). Здесь знак меняется на отрицательный, что отражает чередование знаков последовательности.

Для двадцать четвёртого члена \(x_{24}\) подставляем \(n=24\): \(x_{24} = \frac{(-1)^{24-1}}{4} = \frac{(-1)^{23}}{4}\). Показатель степени 23 — нечётный, значит \((-1)^{23} = -1\), и \(x_{24} = \frac{-1}{4} = -0,25\).

Для двадцать пятого члена \(x_{25}\) подставляем \(n=25\): \(x_{25} = \frac{(-1)^{25-1}}{4} = \frac{(-1)^{24}}{4}\). Показатель степени 24 — чётный, значит \((-1)^{24} = 1\), и \(x_{25} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Таким образом, члены последовательности чередуются между значениями \(0,25\) и \(-0,25\) в зависимости от чётности показателя степени \((n-1)\), что определяется чётностью индекса \(n\). Если \(n\) нечётно, член положительный, если чётно — отрицательный.