ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 182 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите четыре первых члена последовательности \((a_n)\), если:

1) \(a_1 = 5, a_{n+1} = a_n — 2\);

2) \(a_1 = \frac{1}{4}, a_{n+1} = 4a_n\);

3) \(a_1 = 0,5, a_2 = 5, a_{n+2} = a_{n+1} — 4a_n\);

4) \(a_1 = 2, a_2 = 1, a_{n-2} = 3a_{n-1} + a_n\).

1) \(a_1 = 5, \quad a_{n+1} = a_n — 2;\)
Четыре первых члена:
\(a_2 = a_1 — 2 = 5 — 2 = 3;\)
\(a_3 = a_2 — 2 = 3 — 2 = 1;\)
\(a_4 = a_3 — 2 = 1 — 2 = -1;\)
Ответ: 5; 3; 1; -1.

2) \(a_1 = \frac{1}{4}, \quad a_{n+1} = 4a_n;\)
Четыре первых члена:
\(a_1 = \frac{1}{4} = 0,25;\)
\(a_2 = 4a_1 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1;\)
\(a_3 = 4a_2 = 4 \cdot 1 = 4;\)
\(a_4 = 4a_3 = 4 \cdot 4 = 16;\)
Ответ: 0,25; 1; 4; 16.

3) \(a_1 = 0,5, \quad a_2 = 5, \quad a_{n+2} = a_{n+1} — 4a_n;\)
Четыре первых члена:
\(a_3 = a_2 — 4a_1 = 5 — 4 \cdot 0,5 = 5 — 2 = 3;\)
\(a_4 = a_3 — 4a_2 = 3 — 4 \cdot 5 = 3 — 20 = -17;\)
Ответ: 0,5; 5; 3; -17.

4) \(a_1 = 2, \quad a_2 = 1, \quad a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2;\)
Четыре первых члена:
\(a_3 = 3a_1 + a_2^2 = 3 \cdot 2 + 1^2 = 6 + 1 = 7;\)
\(a_4 = 3a_2 + a_3^2 = 3 \cdot 1 + 7^2 = 3 + 49 = 52;\)
Ответ: 2; 1; 7; 52.

1) Последовательность задана начальным членом \(a_1 = 5\) и правилом перехода от одного члена к следующему: \(a_{n+1} = a_n — 2\). Это означает, что каждый следующий член последовательности получается вычитанием 2 из предыдущего члена. Чтобы найти первые четыре члена, начнем с \(a_1\), который равен 5. Далее вычислим \(a_2\), подставив \(n=1\) в формулу: \(a_2 = a_1 — 2 = 5 — 2 = 3\). Таким образом, второй член равен 3.

Следующий член \(a_3\) вычисляем по тому же принципу: \(a_3 = a_2 — 2 = 3 — 2 = 1\). Обратите внимание, что каждый раз мы уменьшаем значение на 2. Для \(a_4\) применяем правило еще раз: \(a_4 = a_3 — 2 = 1 — 2 = -1\). Здесь уже последний член стал отрицательным, что показывает, как последовательность убывает с каждым шагом. Итоговый набор первых четырех членов выглядит так: 5, 3, 1, -1.

Таким образом, мы видим арифметическую прогрессию с разностью \(-2\), где каждый следующий член уменьшается на 2 относительно предыдущего. Это простой пример линейной рекуррентной формулы, которая позволяет легко вычислять любой член последовательности, зная первый и правило перехода.

2) В этом примере начальный член последовательности равен \(a_1 = \frac{1}{4}\), а правило перехода задается формулой \(a_{n+1} = 4a_n\). Это означает, что каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на 4. Начинаем с \(a_1 = \frac{1}{4}\), что в десятичном виде равно 0,25.

Для вычисления второго члена \(a_2\) подставляем \(n=1\): \(a_2 = 4a_1 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\). Второй член равен 1, что уже больше первого. Далее для \(a_3\) вычисляем: \(a_3 = 4a_2 = 4 \cdot 1 = 4\). Видно, что последовательность растет в геометрической прогрессии с множителем 4.

Для \(a_4\) повторяем умножение: \(a_4 = 4a_3 = 4 \cdot 4 = 16\). Таким образом, первые четыре члена равны 0,25; 1; 4; 16. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии, где каждый следующий член увеличивается в 4 раза по сравнению с предыдущим, что демонстрирует экспоненциальный рост.

3) Здесь задана последовательность с двумя начальными членами: \(a_1 = 0,5\) и \(a_2 = 5\). Правило перехода сложнее и задается формулой второго порядка: \(a_{n+2} = a_{n+1} — 4a_n\). Это значит, что каждый член начиная с третьего вычисляется через два предыдущих. Найдем третий член \(a_3\), подставив \(n=1\): \(a_3 = a_2 — 4a_1 = 5 — 4 \cdot 0,5 = 5 — 2 = 3\).

Далее вычислим четвертый член \(a_4\), подставив \(n=2\): \(a_4 = a_3 — 4a_2 = 3 — 4 \cdot 5 = 3 — 20 = -17\). Здесь видно, что последовательность изменяется более резко, и значения могут как уменьшаться, так и становиться отрицательными. Первые четыре члена: 0,5; 5; 3; -17.

Эта рекуррентная формула второго порядка показывает, как значение зависит сразу от двух предыдущих членов, что делает поведение последовательности более сложным и менее предсказуемым, чем в простых арифметических или геометрических случаях.

4) В последнем примере даны два начальных члена: \(a_1 = 2\) и \(a_2 = 1\), а правило перехода задается формулой второго порядка с квадратичным членом: \(a_{n+2} = 3a_n + a_{n+1}^2\). Это значит, что каждый следующий член зависит не только от линейной комбинации предыдущих, но и от квадрата предыдущего члена.

Вычислим третий член \(a_3\), подставив \(n=1\): \(a_3 = 3a_1 + a_2^2 = 3 \cdot 2 + 1^2 = 6 + 1 = 7\). Следующий член \(a_4\) вычислим при \(n=2\): \(a_4 = 3a_2 + a_3^2 = 3 \cdot 1 + 7^2 = 3 + 49 = 52\).

Таким образом, первые четыре члена последовательности: 2; 1; 7; 52. Здесь квадратичный член \(a_{n+1}^2\) сильно влияет на рост последовательности, вызывая быстрое увеличение значений. Это пример нелинейной рекуррентной формулы, где влияние квадрата предыдущего члена приводит к экспоненциальному и даже сверхэкспоненциальному росту.