ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 197 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если:

1) \(a_3 + a_5 = -2\) и \(a_7 + a_{10} = 4\);

2) \(a_2 + a_8 = 24\) и \(a_2 \cdot a_3 = 54\).

1) Из условий:
\(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_5 = a_1 + 4d\), \(a_7 = a_1 + 6d\), \(a_{10} = a_1 + 9d\).
Из первого уравнения:
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = -2 \Rightarrow 2a_1 + 6d = -2 \Rightarrow a_1 = -1 — 3d\).
Из второго уравнения:
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 4 \Rightarrow 2a_1 + 15d = 4\).
Подставляем \(a_1\):
\(2(-1 — 3d) + 15d = 4 \Rightarrow -2 — 6d + 15d = 4 \Rightarrow 9d = 6 \Rightarrow d = \frac{2}{3}\).
Тогда
\(a_1 = -1 — 3 \cdot \frac{2}{3} = -3\).

Ответ: \(a_1 = -3\), \(d = \frac{2}{3}\).

2) Из условий:
\(a_2 = a_1 + d\), \(a_6 = a_1 + 5d\), \(a_3 = a_1 + 2d\).
Из первого уравнения:
\((a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 24 \Rightarrow 2a_1 + 6d = 24 \Rightarrow a_1 = 12 — 3d\).
Из второго уравнения:
\((a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54\).
Подставляем \(a_1\):
\((12 — 3d + d)(12 — 3d + 2d) = 54 \Rightarrow (12 — 2d)(12 — d) = 54\).
Раскрываем скобки:
\(144 — 12d — 24d + 2d^2 = 54 \Rightarrow 2d^2 — 36d + 90 = 0\).
Делим на 2:
\(d^2 — 18d + 45 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 18^2 — 4 \cdot 45 = 324 — 180 = 144\).
Корни:
\(d_1 = \frac{18 — 12}{2} = 3\), \(d_2 = \frac{18 + 12}{2} = 15\).
Тогда:
\(a_1^{(1)} = 12 — 3 \cdot 3 = 3\), \(a_1^{(2)} = 12 — 3 \cdot 15 = -33\).

Ответ:
\(a_1 = 3\), \(d = 3\) или \(a_1 = -33\), \(d = 15\).

1) Дано: \(a_3 + a_5 = -2\) и \(a_7 + a_{10} = 4\).

Формулы для членов арифметической прогрессии:
\(a_3 = a_1 + d(3 — 1) = a_1 + 2d\),
\(a_5 = a_1 + d(5 — 1) = a_1 + 4d\),
\(a_7 = a_1 + d(7 — 1) = a_1 + 6d\),
\(a_{10} = a_1 + d(10 — 1) = a_1 + 9d\).

Из первого уравнения:
\(a_3 + a_5 = -2\),
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = -2\),
\(2a_1 + 6d = -2\),
\(2a_1 = -2 — 6d\),
\(a_1 = -1 — 3d\).

Из второго уравнения:
\(a_7 + a_{10} = 4\),
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 4\),
\(2a_1 + 15d = 4\).

Подставляем \(a_1 = -1 — 3d\):
\(2(-1 — 3d) + 15d = 4\),
\(-2 — 6d + 15d = 4\),
\(9d = 6\),
\(d = \frac{2}{3}\).

Тогда
\(a_1 = -1 — 3 \cdot \frac{2}{3} = -1 — 2 = -3\).

Ответ: \(a_1 = -3\), \(d = \frac{2}{3}\).

2) Дано: \(a_2 + a_6 = 24\) и \(a_2 \cdot a_3 = 54\).

Формулы для членов арифметической прогрессии:
\(a_2 = a_1 + d(2 — 1) = a_1 + d\),
\(a_6 = a_1 + d(6 — 1) = a_1 + 5d\),
\(a_3 = a_1 + d(3 — 1) = a_1 + 2d\).

Из первого уравнения:
\(a_2 + a_6 = 24\),
\((a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 24\),
\(2a_1 + 6d = 24\),
\(2a_1 = 24 — 6d\),
\(a_1 = 12 — 3d\).

Из второго уравнения:
\(a_2 \cdot a_3 = 54\),
\((a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54\).

Подставляем \(a_1 = 12 — 3d\):
\((12 — 3d + d)(12 — 3d + 2d) = 54\),
\((12 — 2d)(12 — d) = 54\).

Раскрываем скобки:
\(144 — 12d — 24d + 2d^2 = 54\),
\(2d^2 — 36d + 144 = 54\),
\(2d^2 — 36d + 90 = 0\).

Делим на 2:
\(d^2 — 18d + 45 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 — 180 = 144\).

Находим корни:
\(d_1 = \frac{18 — 12}{2} = 3\),
\(d_2 = \frac{18 + 12}{2} = 15\).

Вычисляем соответствующие \(a_1\):
\(a_1^{(1)} = 12 — 3 \cdot 3 = 3\),
\(a_1^{(2)} = 12 — 3 \cdot 15 = -33\).

Ответ:
\(a_1 = 3\), \(d = 3\) или \(a_1 = -33\), \(d = 15\).