ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 198 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Является ли арифметической прогрессией последовательность \((a_n)\), заданная формулой n-го члена:
1) \(a_n = -4n + 5\);
2) \(a_n = 3n^2 — 2\);
3) \(a_n = -3,5n\);
4) \(a_n = 7 — 0,8n\);
5) \(a_n = \frac{4}{n+1}\);
6) \(a_n = \frac{3n + 1}{4}\)?
В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) \(a_n = -4n + 5\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = (-4(n+1) + 5) — (-4n + 5) = -4\), постоянна.
\(a_1 = -4 \cdot 1 + 5 = 1\).
Ответ: является; \(a_1 = 1\); \(d = -4\).

2) \(a_n = 3n^2 — 2\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = 3(n+1)^2 — 2 — (3n^2 — 2) = 6n + 3\), не постоянна.
Ответ: не является.

3) \(a_n = -3,5n\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = -3,5(n+1) — (-3,5n) = -3,5\), постоянна.
\(a_1 = -3,5 \cdot 1 = -3,5\).
Ответ: является; \(a_1 = -3,5\); \(d = -3,5\).

4) \(a_n = 7 — 0,8n\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = (7 — 0,8(n+1)) — (7 — 0,8n) = -0,8\), постоянна.
\(a_1 = 7 — 0,8 \cdot 1 = 6,2\).
Ответ: является; \(a_1 = 6,2\); \(d = -0,8\).

5) \(a_n = \frac{4}{n+1}\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = \frac{4}{n+2} — \frac{4}{n+1} = \frac{-4}{(n+2)(n+1)}\), не постоянна.
Ответ: не является.

6) \(a_n = \frac{3n + 1}{4}\)
Разность \(d = a_{n+1} — a_n = \frac{3(n+1) + 1}{4} — \frac{3n + 1}{4} = \frac{3}{4}\), постоянна.
\(a_1 = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = 1\).
Ответ: является; \(a_1 = 1\); \(d = \frac{3}{4}\).

1) \(a_n = -4n + 5\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -4(n+1) + 5 = -4n — 4 + 5 = 1 — 4n\).
Разность прогрессии:
\(d = a_{n+1} — a_n = (1 — 4n) — (-4n + 5) = 1 — 4n + 4n — 5 = -4\), постоянна.
Первый член:
\(a_1 = -4 \cdot 1 + 5 = 1\).
Ответ: является; \(a_1 = 1\); \(d = -4\).

2) \(a_n = 3n^2 — 2\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 3(n+1)^2 — 2 = 3(n^2 + 2n + 1) — 2 = 3n^2 + 6n + 3 — 2=\)
\( = 3n^2 + 6n + 1\).
Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (3n^2 + 6n + 1) — (3n^2 — 2) = 6n + 3\), зависит от \(n\), не постоянна.
Ответ: не является.

3) \(a_n = -3,5n\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -3,5(n+1) = -3,5n — 3,5\).
Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (-3,5n — 3,5) — (-3,5n) = -3,5\), постоянна.
Первый член:
\(a_1 = -3,5 \cdot 1 = -3,5\).
Ответ: является; \(a_1 = -3,5\); \(d = -3,5\).

4) \(a_n = 7 — 0,8n\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 7 — 0,8(n+1) = 7 — 0,8n — 0,8 = 6,2 — 0,8n\).
Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (6,2 — 0,8n) — (7 — 0,8n) = -0,8\), постоянна.
Первый член:
\(a_1 = 7 — 0,8 \cdot 1 = 6,2\).
Ответ: является; \(a_1 = 6,2\); \(d = -0,8\).

5) \(a_n = \frac{4}{n+1}\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = \frac{4}{(n+1) + 1} = \frac{4}{n+2}\).
Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = \frac{4}{n+2} — \frac{4}{n+1} = \frac{4(n+1) — 4(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4n + 4 — 4n — 8}{(n+2)(n+1)} = \frac{-4}{(n+2)(n+1)}\), не постоянна.
Ответ: не является.

6) \(a_n = \frac{3n + 1}{4}\)
Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = \frac{3(n+1) + 1}{4} = \frac{3n + 3 + 1}{4} = \frac{3n + 4}{4}\).
Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = \frac{3n + 4}{4} — \frac{3n + 1}{4} = \frac{3}{4}\), постоянна.
Первый член:
\(a_1 = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
Ответ: является; \(a_1 = 1\); \(d = \frac{3}{4}\).