ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 20 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(\frac{x — 8}{(x + 3)^2} — 2 < 0\);

2) \(\frac{x — 8}{x — 3} \geq 0\);

3) \(\frac{x — 3}{x — 3} \geq 0\);

4) \(\frac{x — 3}{x — 3} \geq 1\);

5) \(\frac{x — 3}{8 — x} \leq \frac{1}{6}\);

6) \(\frac{x — 4}{x — 5} \geq 0\);

7) \(\frac{x — 4}{x — 5} > 0\);
8) \(x + \frac{1}{x + 1} \geq \frac{1}{x + 1} — 3\).

1) Умножили на \((x+3)^2\), получили неравенство, которое верно при всех \(x \neq -3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)\).

2) Упростили дробь, получили \(-1 < 0\) — всегда верно, при \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

3) Аналогично, выражение равно 1, что больше или равно 0 при \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

4) Выражение равно 1, что больше или равно 1 при \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

5) Аналогично, неравенство верно при всех \(x \neq 3\). Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

6) Квадрат дроби неотрицателен при \(x \neq 5\). Ответ: \(x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)\).

7) Квадрат дроби строго больше 0, значит числитель и знаменатель не равны 0, \(x \neq 4, 5\). Ответ: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5) \cup (5; +\infty)\).

8) Упростили, получили \(x > -3\) при \(x \neq -1\).
Ответ: \(x \in (-3; -1) \cup (-1; +\infty)\).

1) Неравенство \( — \frac{1}{(x+3)^2} — 2 < 0 \). Умножим обе части на положительное выражение \( (x+3)^2 \), учитывая, что \( (x+3)^2 > 0 \) при \( x \neq -3 \):
\( -1 — 2(x+3)^2 < 0 \).
Переносим -1 вправо:
\( -2(x+3)^2 < 1 \). Делим на -2 и меняем знак неравенства: \( (x+3)^2 > -\frac{1}{2} \).
Квадрат любого числа неотрицателен, следовательно, неравенство верно для всех \( x \neq -3 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) \).

2) Неравенство \( \frac{x-3}{3-x} < 0 \).
Перепишем знаменатель: \( 3-x = -(x-3) \), тогда:
\( \frac{x-3}{3-x} = \frac{x-3}{-(x-3)} = -1 \).
Неравенство принимает вид:
\( -1 < 0 \), что всегда верно. Область определения: \( x \neq 3 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

3) Неравенство \( \frac{x-3}{x-3} \geq 0 \). При \( x \neq 3 \), дробь равна 1. \( 1 \geq 0 \) — верно для всех \( x \neq 3 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

4) Неравенство \( \frac{x-3}{x-3} \geq 1 \). При \( x \neq 3 \), дробь равна 1. \( 1 \geq 1 \) — верно для всех \( x \neq 3 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

5) Неравенство \( \frac{x-3}{3-x} \leq \frac{1}{6} \). Как в пункте 2, \( \frac{x-3}{3-x} = -1 \). Тогда: \( -1 \leq \frac{1}{6} \) — верно для всех \( x \neq 3 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

6) Неравенство \( \left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 \geq 0 \). Квадрат любого выражения неотрицателен. Область определения: \( x \neq 5 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \).

7) Неравенство \( \left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 > 0 \).
Квадрат равен нулю, если числитель равен нулю, то есть при \( x = 4 \).
Значит:
\( \left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 > 0 \) при \( x \neq 4 \) и \( x \neq 5 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5) \cup (5; +\infty) \).

8) Неравенство \( x + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+1} — 3 \).
Вычитаем \( \frac{1}{x+1} \) с обеих сторон:
\( x > -3 \).
Область определения: \( x \neq -1 \).
Ответ: \( x \in (-3; -1) \cup (-1; +\infty) \).