ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 200 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(4x + 5\), \(7x — 1\) и \(x^2 + 2\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дано: \(a_1 = 4x + 5\), \(a_2 = 7x — 1\), \(a_3 = x^2 + 2\).

По свойству арифметической прогрессии:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\).

Подставим:
\(7x — 1 = \frac{(4x + 5) + (x^2 + 2)}{2}\).

Умножим на 2:
\(2(7x — 1) = 4x + 5 + x^2 + 2\),

\(14x — 2 = x^2 + 4x + 7\),

Перенесём всё в левую часть:
\(x^2 + 4x + 7 — 14x + 2 = 0\),

\(x^2 — 10x + 9 = 0\).

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64\),

Корни:
\(x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1\),
\(x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9\).

Для \(x = 1\):
\(a_1 = 4 \cdot 1 + 5 = 9\),
\(a_2 = 7 \cdot 1 — 1 = 6\),
\(a_3 = 1^2 + 2 = 3\).

Для \(x = 9\):
\(a_1 = 4 \cdot 9 + 5 = 41\),
\(a_2 = 7 \cdot 9 — 1 = 62\),
\(a_3 = 9^2 + 2 = 83\).

Ответ:

\(x = 1\), прогрессия: \(9; 6; 3\);

\(x = 9\), прогрессия: \(41; 62; 83\).

1) Рассмотрим три члена арифметической прогрессии \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), заданные выражениями \(a_1 = 4x + 5\), \(a_2 = 7x — 1\), \(a_3 = x^2 + 2\). Арифметическая прогрессия характеризуется тем, что разность между соседними членами постоянна, а значит средний член равен полусумме первого и третьего. Это свойство можно записать как уравнение \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\). Подставляя заданные выражения, получаем уравнение с переменной \(x\), которое позволит найти значения \(x\), при которых данные три числа образуют арифметическую прогрессию.

2) Подставим данные выражения в уравнение свойства арифметической прогрессии: \(7x — 1 = \frac{(4x + 5) + (x^2 + 2)}{2}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2, получим \(2(7x — 1) = 4x + 5 + x^2 + 2\), что равно \(14x — 2 = x^2 + 4x + 7\). Затем перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 + 4x + 7 — 14x + 2 = 0\), что упрощается до \(x^2 — 10x + 9 = 0\). Это классическое квадратное уравнение, решая которое, мы найдём значения \(x\), при которых три члена действительно образуют арифметическую прогрессию.

3) Для решения уравнения \(x^2 — 10x + 9 = 0\) вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = 9\). Подставляя значения, получаем \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64\). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), что даёт \(x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9\). Эти значения \(x\) подставим обратно в выражения для членов прогрессии, чтобы проверить и записать итоговые последовательности.

4) При \(x = 1\) вычислим члены прогрессии: \(a_1 = 4 \cdot 1 + 5 = 9\), \(a_2 = 7 \cdot 1 — 1 = 6\), \(a_3 = 1^2 + 2 = 3\). Проверим, что это действительно арифметическая прогрессия: разность между \(a_2\) и \(a_1\) равна \(6 — 9 = -3\), а между \(a_3\) и \(a_2\) равна \(3 — 6 = -3\). Разности равны, значит последовательность \(9; 6; 3\) — арифметическая прогрессия.

5) При \(x = 9\) вычислим члены: \(a_1 = 4 \cdot 9 + 5 = 41\), \(a_2 = 7 \cdot 9 — 1 = 62\), \(a_3 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83\). Проверим разности: \(62 — 41 = 21\), \(83 — 62 = 21\). Разности равны, значит последовательность \(41; 62; 83\) также является арифметической прогрессией. Таким образом, при двух значениях \(x\) — 1 и 9 — заданные выражения образуют арифметические прогрессии с последовательностями \(9; 6; 3\) и \(41; 62; 83\) соответственно.