ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 201 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(4x + 5\), \(7x — 1\) и \(x^2 + 2\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Если \(y = 4\), то:
\(a_1 = (4)^2 + 2 = 18\)
\(a_2 = 4 \cdot 4 + 2 = 18\)
\(a_3 = 3 \cdot 4 + 6 = 18\)
\(a_4 = (4)^2 — 4 \cdot 4 + 18 = 18\)

При \(y = 4\) значения выражений \(y^2 + 2\), \(4y + 2\), \(3y + 6\) и \(y^2 — 4y + 18\) будут последовательными членами арифметической прогрессии: \(18, 18, 18, 18\).

1) Дана арифметическая прогрессия:
\(a_1 = y^2 + 2\), \(a_2 = 4y + 2\), \(a_3 = 3y + 6\), \(a_4 = y^2 — 4y + 18\)

2) По свойству арифметической прогрессии:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\)
\(4y + 2 = \frac{(y^2 + 2) + (3y + 6)}{2}\)
\(2(4y + 2) = y^2 + 3y + 8\)
\(8y + 4y^2 + 3y + 8\)
\(y^2 — 5y + 4 = 0\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\), тогда:
\(y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

3) По свойству арифметической прогрессии:
\(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\)
\(3y + 6 = \frac{(4y + 2) + (y^2 — 4y + 18)}{2}\)
\(2(3y + 6) = y^2 + 20\)
\(6y + 12 = y^2 + 20\)
\(y^2 — 6y + 8 = 0\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:
\(y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2\) и \(y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\)

4) Объединим корни, тогда \(y = 4\):
\(a_1 = 4^2 + 2 = 16 + 2 = 18\)
\(a_2 = 4 \cdot 4 + 2 = 16 + 2 = 18\)
\(a_3 = 3 \cdot 4 + 6 = 12 + 6 = 18\)
\(a_4 = 4^2 — 4 \cdot 4 + 18 = 16 — 16 + 18 = 18\)

Ответ: \(18, 18, 18, 18\)