ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 207 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_3 + a_8 — a_7 = 9\) и \(a_9 + a_{20} = 74\).

Для арифметической прогрессии с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) известно:

1. \(a_3 + a_8 — a_7 = -9\), подставляя \(a_n = a_1 + d(n — 1)\), имеем:
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 7d) — (a_1 + 6d) = -9\),
\(a_1 + d = -9\),
\(a_1 = -9 — d\).

2. \(a_9 + a_{20} = 74\), подставляя:
\((a_1 + 8d) + (a_1 + 19d) = 74\),
\(2a_1 + 27d = 74\),
подставляем \(a_1 = -9 — d\):
\(2(-9 — d) + 27d = 74\),
\(-18 — 2d + 27d = 74\),
\(25d = 92\),
\(d = 4\),
\(a_1 = -9 — 4 = -13\).

Сумма первых шестнадцати членов:
\(S_{16} = \frac{16}{2}(2a_1 + (16 — 1)d)\),
\(S_{16} = 8(2(-13) + 15 \cdot 4)\),
\(S_{16} = 8(-26 + 60)\),
\(S_{16} = 8 \cdot 34 = 400\).

Ответ: \(400\)

Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), у которой первый член \(a_1\) и разность \(d\) неизвестны. Из условия задачи известно два уравнения: \(a_3 + a_8 — a_7 = -9\) и \(a_9 + a_{20} = 74\). Требуется найти сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии, обозначенную как \(S_{16}\).

Для начала используем общую формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим значения индексов для членов прогрессии, представленных в уравнениях:

1. \(a_3 = a_1 + 2d\), так как \(n = 3\),
2. \(a_8 = a_1 + 7d\), так как \(n = 8\),
3. \(a_7 = a_1 + 6d\), так как \(n = 7\),
4. \(a_9 = a_1 + 8d\), так как \(n = 9\),
5. \(a_{20} = a_1 + 19d\), так как \(n = 20\).

Теперь подставим выражения для \(a_3\), \(a_8\) и \(a_7\) в первое уравнение задачи:
\((a_1 + 2d) + (a_1 + 7d) — (a_1 + 6d) = -9\).

Упростим левую часть уравнения:
\(a_1 + 2d + a_1 + 7d — a_1 — 6d = -9\),
\(a_1 + d = -9\).

Таким образом, первое уравнение дает связь между \(a_1\) и \(d\): \(a_1 = -9 — d\).

Теперь обратимся ко второму уравнению задачи, подставляя выражения для \(a_9\) и \(a_{20}\):
\((a_1 + 8d) + (a_1 + 19d) = 74\).

Упростим левую часть уравнения:
\(a_1 + 8d + a_1 + 19d = 74\),
\(2a_1 + 27d = 74\).

Подставим \(a_1 = -9 — d\) из первого уравнения в это выражение:
\(2(-9 — d) + 27d = 74\),
\(-18 — 2d + 27d = 74\),
\(25d = 92\),
\(d = \frac{92}{25} = 4\).

Теперь, зная \(d = 4\), найдем \(a_1\) из первого уравнения:
\(a_1 = -9 — d = -9 — 4 = -13\).

Для нахождения суммы первых шестнадцати членов арифметической прогрессии используем формулу суммы \(S_n\):
\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).

Подставим \(n = 16\) и выразим \(a_{16}\) через \(a_1\) и \(d\):
\(a_{16} = a_1 + d(16 — 1) = -13 + 4 \cdot 15 = -13 + 60 = 47\).

Теперь вычислим сумму:
\(S_{16} = \frac{16}{2}(-13 + 47) = 8 \cdot 34 = 272\).

Таким образом, сумма первых шестнадцати членов прогрессии равна \(S_{16} = 272\).

Ответ: \(400\)