ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 209 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии \(-6,8; -6,4; -6; \ldots\).

Сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии равна \(-61,2\).

Объяснение: в данной прогрессии первый член \(a_1 = -6,8\), разность \(d = 0,4\). Последний отрицательный член находится при \(n = 17\), так как \(a_{17} = -6,8 + 0,4 \cdot 16 = -0,4\), а \(a_{18} = 0\). Сумма первых 17 членов рассчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (a_1 + a_{17}) = \frac{17}{2} \cdot (-6,8 — 0,4) = \frac{17}{2} \cdot (-7,2) = 17 \cdot (-3,6) =\)
\(= -61,2\).

1) Формула n-го члена данной арифметической прогрессии определяется следующим образом. Дано, что первый член прогрессии \(a_1 = -6,8\), второй член \(a_2 = -6,4\). Разность прогрессии \(d\) вычисляется как \(d = a_2 — a_1 = -6,4 — (-6,8) = -6,4 + 6,8 = 0,4\). Общая формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставляя значения, получаем \(a_n = -6,8 + 0,4(n — 1)\). Раскроем выражение: \(a_n = -6,8 + 0,4n — 0,4 = 0,4n — 7,2\). Таким образом, формула n-го члена прогрессии: \(a_n = 0,4n — 7,2\).

2) Определим номер последнего отрицательного члена прогрессии. Для этого решим неравенство \(a_n < 0\), то есть \(0,4n — 7,2 < 0\). Прибавим \(7,2\) к обеим частям неравенства: \(0,4n < 7,2\). Разделим обе части на \(0,4\): \(n < \frac{7,2}{0,4} = 18\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, наибольшее возможное значение \(n\), при котором член прогрессии остается отрицательным, равно \(17\). Проверим: при \(n = 17\) член прогрессии \(a_{17} = 0,4 \cdot 17 — 7,2 = 6,8 — 7,2 = -0,4 < 0\), а при \(n = 18\) уже \(a_{18} = 0,4 \cdot 18 — 7,2 = 7,2 — 7,2 = 0\), что не является отрицательным. Таким образом, последний отрицательный член имеет номер \(n = 17\).

3) Найдем сумму первых семнадцати членов прогрессии, так как это все отрицательные члены. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Для \(n = 17\), \(a_1 = -6,8\), \(a_{17} = -0,4\). Подставим значения: \(S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (-6,8 + (-0,4)) = \frac{17}{2} \cdot (-7,2)\). Вычислим: \(\frac{17}{2} = 8,5\), а \(8,5 \cdot (-7,2) = -61,2\). Альтернативно, можно использовать формулу \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Подставим: \(S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (2 \cdot (-6,8) + 0,4 \cdot (17 — 1)) = \frac{17}{2} \cdot (-13,6 + 0,4 \cdot 16) =\)
\(= \frac{17}{2} \cdot (-13,6 + 6,4) = \frac{17}{2} \cdot (-7,2) = 17 \cdot (-3,6) = -61,2\). Итак, сумма первых 17 членов прогрессии равна \(-61,2\).

Ответ: \(-61,2\).