ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 210 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 6 и не больше 234.

Сумма всех натуральных чисел, кратных 6 и не больше 234, находится как сумма арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 6\), последним членом \(a_{39} = 234\) и количеством членов \(n = 39\). Формула суммы: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Подставим значения: \(S_{39} = \frac{6 + 234}{2} \cdot 39 = 120 \cdot 39 = 4680\). Ответ: 4680.

1) Уравнение всех натуральных чисел, кратных 6, можно записать как \(a_n = 6n\), где \(n\) — это номер члена последовательности, а \(a_n\) — само число, кратное 6. Таким образом, каждое число в этой последовательности получается умножением натурального числа \(n\) на 6.

2) Чтобы найти номер последнего члена последовательности, который не больше числа 234, нужно решить неравенство \(6n \leq 234\). Разделим обе части на 6: \(n \leq \frac{234}{6}\), что дает \(n \leq 39\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, максимальное значение \(n = 39\). Это означает, что последний член последовательности, не превышающий 234, имеет номер 39.

3) Теперь определим первый и тридцать девятый члены последовательности. Первый член находится как \(a_1 = 6 \cdot 1 = 6\). Тридцать девятый член равен \(a_{39} = 6 \cdot 39 = 234\). Таким образом, первый член последовательности — 6, а последний, не превышающий 234, — 234.

4) Сумма первых тридцати девяти членов последовательности вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Подставим значения: \(S_{39} = \frac{6 + 234}{2} \cdot 39\). Сначала вычислим сумму внутри скобок: \(6 + 234 = 240\), затем поделим на 2: \(\frac{240}{2} = 120\). Теперь умножим на количество членов: \(120 \cdot 39 = 4680\). Таким образом, сумма первых 39 членов последовательности равна 4680. Ответ: 4680.