ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 211 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не больше 182.

Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 182, равна 4140. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 4\), общим множителем \(d = 4\) и последним членом \(a_{45} = 180\), где количество членов \(n = 45\). Сумма вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{45}{2} \cdot (4 + 180) = 45 \cdot 92 = 4140\).

1) Для нахождения всех натуральных чисел, кратных 4, можно представить их в виде арифметической прогрессии, где каждый член последовательности кратен 4. Общее уравнение для членов этой прогрессии записывается как \(a_n = 4n\), где \(n\) — это номер члена последовательности, а \(a_n\) — само число, кратное 4. Таким образом, первый член \(a_1 = 4 \cdot 1 = 4\), второй член \(a_2 = 4 \cdot 2 = 8\) и так далее.

2) Чтобы определить номер последнего члена прогрессии, который не превышает числа 182, нужно решить неравенство \(4n \leq 182\). Разделив обе части на 4, получаем \(n \leq 45.5\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, берем целую часть, то есть \(n = 45\). Таким образом, последний член прогрессии, не превышающий 182, соответствует \(n = 45\).

3) Теперь вычислим первый и сорок пятый члены прогрессии. Первый член, как уже было указано, равен \(a_1 = 4 \cdot 1 = 4\). Сорок пятый член равен \(a_{45} = 4 \cdot 45 = 180\). Эти значения понадобятся для дальнейших вычислений суммы.

4) Для нахождения суммы всех членов прогрессии от первого до сорок пятого используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Подставим значения: \(n = 45\), \(a_1 = 4\), \(a_{45} = 180\). Тогда \(S_{45} = \frac{45}{2} \cdot (4 + 180) = \frac{45}{2} \cdot 184 = 45 \cdot 92 = 4140\). Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 182, равна 4140.

Ответ: 4140.