Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 212 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 114 и при делении на 3 дают в остатке 2.
1) Числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2: \(a_n = 3n + 2\);
2) Номер последнего члена, меньшего числа 114:
\(3n + 2 < 114\); \(3n < 112\); \(n < \frac{112}{3}\); \(n < 37.333...\);
\(n \in \mathbb{N}\), значит \(n = 37\); 3) Первый и тридцать седьмой члены прогрессии:
\(a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5\); \(a_{37} = 3 \cdot 37 + 2 = 111 + 2 = 113\); 4) Сумма первых тридцати семи членов прогрессии:
\(S_{37} = \frac{a_1 + a_{37}}{2} \cdot 37 = \frac{5 + 113}{2} \cdot 37 = 59 \cdot 37 = 2183\); Ответ: 2183.
1) Числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2, можно записать в виде арифметической прогрессии. Общий вид таких чисел определяется формулой \(a_n = 3n + 2\), где \(n\) — натуральное число, а \(a_n\) — \(n\)-ый член последовательности. Это означает, что каждое число из этой последовательности при делении на 3 дает остаток 2, так как \(3n\) делится на 3 нацело, а остаток определяется числом 2.
2) Нам нужно найти номер последнего члена последовательности, который меньше числа 114. Для этого решаем неравенство \(3n + 2 < 114\). Вычтем 2 из обеих частей: \(3n < 112\). Теперь разделим обе части на 3: \(n < \frac{112}{3}\), что примерно равно \(n < 37.333...\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, наибольшее возможное значение \(n\) равно 37. Таким образом, \(n = 37\), и это номер последнего члена последовательности, который меньше 114. 3) Найдем значения первого и тридцать седьмого членов прогрессии. Для первого члена (\(n = 1\)) подставим в формулу: \(a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5\). Для тридцать седьмого члена (\(n = 37\)) считаем: \(a_{37} = 3 \cdot 37 + 2 = 111 + 2 = 113\). Таким образом, первый член последовательности равен 5, а тридцать седьмой — 113. 4) Теперь вычислим сумму первых тридцати семи членов прогрессии. Для арифметической прогрессии сумма первых \(n\) членов находится по формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). Подставим значения: \(S_{37} = \frac{5 + 113}{2} \cdot 37\). Сначала сложим числа в числителе: \(5 + 113 = 118\), затем разделим на 2: \(\frac{118}{2} = 59\). Теперь умножим на количество членов: \(59 \cdot 37\). Вычислим это произведение: \(59 \cdot 37 = 59 \cdot (30 + 7) = 59 \cdot 30 + 59 \cdot 7 = 1770 + 413 = 2183\). Таким образом, сумма первых 37 членов равна 2183. Ответ: 2183.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.