ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 215 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 570?

Для арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = -4\) и разностью \(d = 6\) нужно найти количество членов \(n\), чтобы сумма первых \(n\) членов равнялась 570. Формула суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим значения: \(\frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-4) + 6(n-1)) = 570\). Упростим: \(\frac{n}{2} \cdot (-8 + 6n — 6) = 570\), то есть \(\frac{n}{2} \cdot (6n — 14) = 570\). Умножим на 2: \(n(6n — 14) = 1140\), получаем уравнение \(6n^2 — 14n — 1140 = 0\). Разделим на 2: \(3n^2 — 7n — 570 = 0\). Дискриминант: \(D = 49 + 6840 = 6889\), корень из \(D = 83\). Тогда \(n = \frac{7 \pm 83}{6}\), получаем \(n = 15\) или \(n = -\frac{76}{3}\). Поскольку \(n\) не может быть отрицательным, ответ: \(n = 15\).

1) Дана арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = -4\), а разность \(d = 6\). Требуется найти количество первых членов \(n\), чтобы их сумма \(S_n\) была равна 570. Для решения используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим известные значения: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-4) + 6(n-1)) = 570\).

2) Упростим выражение внутри скобок: \(2 \cdot (-4) = -8\), а \(6(n-1) = 6n — 6\), значит, \(-8 + 6n — 6 = 6n — 14\). Тогда формула принимает вид: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (6n — 14) = 570\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: \(n \cdot (6n — 14) = 1140\).

3) Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \(6n^2 — 14n = 1140\). Перенесем все члены в одну сторону: \(6n^2 — 14n — 1140 = 0\). Для упрощения разделим все коэффициенты на 2: \(3n^2 — 7n — 570 = 0\).

4) Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = -570\). Подставим: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-570) = 49 + 6840 = 6889\). Найдем корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{6889} = 83\).

5) Теперь найдем корни уравнения по формуле: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(n = \frac{7 \pm 83}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 83}{6}\). Рассчитаем два возможных значения: первое — \(n = \frac{7 + 83}{6} = \frac{90}{6} = 15\), второе — \(n = \frac{7 — 83}{6} = \frac{-76}{6} = -\frac{38}{3}\).

6) Поскольку количество членов прогрессии не может быть отрицательным или дробным, отбрасываем отрицательное значение \(n = -\frac{38}{3}\). Таким образом, остается единственное подходящее значение: \(n = 15\).

7) Ответ: \(n = 15\).