Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 217 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма пяти первых её членов равна 10, а сумма двенадцати первых членов равна -102.
Сумма членов арифметической прогрессии с 12-го по 29-й включительно равна 1003.5. Краткое решение: сначала находим разность прогрессии \(d\) из условия \(x_{15} = x_1 + 14d\), то есть \(42 = 7 + 14d\), откуда \(d = \frac{35}{14} = 2.5\). Затем вычисляем сумму \(S_{12-29} = S_{29} — S_{11}\), где \(S_{29} = \frac{29}{2} \cdot (2 \cdot 7 + (29-1) \cdot 2.5) = 29 \cdot (7 + 14 \cdot 2.5) = 29 \cdot 42 = 1218\), а \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2 \cdot 7 + (11-1) \cdot 2.5) = 11 \cdot (7 + 5 \cdot 2.5) = 11 \cdot 19.5 = 214.5\). Итог: \(S_{12-29} = 1218 — 214.5 = 1003.5\).
1) Для нахождения разности арифметической прогрессии \((x_n)\) используем данные условия: \(x_1 = 7\) и \(x_{15} = 42\). Формула для \(n\)-го члена прогрессии имеет вид \(x_n = x_1 + d(n-1)\), где \(d\) — разность прогрессии. Подставим значения для \(n = 15\): \(x_{15} = x_1 + d(15-1) = 7 + 14d\). Так как \(x_{15} = 42\), получаем уравнение \(7 + 14d = 42\). Вычтем 7 из обеих частей: \(14d = 35\). Разделим на 14: \(d = \frac{35}{14} = 2.5\). Таким образом, разность прогрессии равна 2.5.
2) Теперь вычислим сумму первых одиннадцати членов прогрессии, то есть \(S_{11}\). Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2x_1 + d(n-1))\). Для \(n = 11\) подставим значения: \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2 \cdot 7 + 2.5 \cdot (11-1))\). Сначала вычислим выражение в скобках: \(2 \cdot 7 = 14\), \(2.5 \cdot 10 = 25\), итого \(14 + 25 = 39\). Теперь умножим: \(\frac{11}{2} \cdot 39 = 11 \cdot \frac{39}{2} = 11 \cdot 19.5 = 214.5\). Таким образом, сумма первых одиннадцати членов равна 214.5.
3) Далее найдем сумму первых двадцати девяти членов прогрессии, то есть \(S_{29}\). Используем ту же формулу суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2x_1 + d(n-1))\). Для \(n = 29\) подставим значения: \(S_{29} = \frac{29}{2} \cdot (2 \cdot 7 + 2.5 \cdot (29-1))\). Вычислим выражение в скобках: \(2 \cdot 7 = 14\), \(2.5 \cdot 28 = 70\), итого \(14 + 70 = 84\). Теперь умножим: \(\frac{29}{2} \cdot 84 = 29 \cdot 42 = 1218\). Таким образом, сумма первых двадцати девяти членов равна 1218.
4) Наконец, найдем сумму членов прогрессии с двенадцатого по двадцать девятый включительно, то есть \(S_{12-29}\). Для этого вычтем сумму первых одиннадцати членов из суммы первых двадцати девяти членов: \(S_{12-29} = S_{29} — S_{11}\). Подставим известные значения: \(S_{12-29} = 1218 — 214.5 = 1003.5\). Также можно использовать формулу для суммы членов с \(m\)-го по \(n\)-ый: \(S_{m-n} = \frac{(n-m+1)}{2} \cdot (x_m + x_n)\), но проще использовать разность сумм. Итог: сумма членов с 12-го по 29-й равна 1003.5.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.