Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 218 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма пяти первых её членов равна 10, а сумма двенадцати первых членов равна -102.
Для арифметической прогрессии дана сумма первых пяти членов \( S_5 = 10 \) и сумма первых двенадцати членов \( S_{12} = -102 \). Используем формулу суммы \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1)) \).
1. Для \( S_5 = 10 \): \( 5 \cdot (2a_1 + 4d) / 2 = 10 \), то есть \( 2a_1 + 4d = 4 \), откуда \( a_1 = 2 — 2d \).
2. Для \( S_{12} = -102 \): \( 12 \cdot (2a_1 + 11d) / 2 = -102 \), то есть \( 2a_1 + 11d = -17 \). Подставим \( a_1 = 2 — 2d \): \( 2(2 — 2d) + 11d = -17 \), что даёт \( 4 — 4d + 11d = -17 \), или \( 7d = -21 \), откуда \( d = -3 \).
3. Тогда \( a_1 = 2 — 2 \cdot (-3) = 2 + 6 = 8 \).
Ответ: первый член \( a_1 = 8 \), разность \( d = -3 \).
Для решения задачи об арифметической прогрессии, где дана сумма первых пяти членов \( S_5 = 10 \) и сумма первых двенадцати членов \( S_{12} = -102 \), используем формулу суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1)) \), где \( a_1 \) — первый член, а \( d \) — разность прогрессии. Разберём задачу пошагово.
1) Сумма первых пяти членов прогрессии: дана \( S_5 = 10 \). Подставим \( n = 5 \) в формулу суммы: \( S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + d(5-1)) = 10 \). Упростим выражение: \( \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d) = 10 \). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 5 \cdot (2a_1 + 4d) = 20 \), что эквивалентно \( 10a_1 + 20d = 20 \). Разделим обе части на 5: \( 2a_1 + 4d = 4 \). Теперь выразим \( a_1 \) через \( d \): \( 2a_1 = 4 — 4d \), откуда \( a_1 = 2 — 2d \). Таким образом, мы получили выражение для первого члена через разность.
2) Сумма первых двенадцати членов прогрессии: дана \( S_{12} = -102 \). Подставим \( n = 12 \) в формулу суммы: \( S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (2a_1 + d(12-1)) = -102 \). Упростим: \( 6 \cdot (2a_1 + 11d) = -102 \). Разделим обе части на 6: \( 2a_1 + 11d = -17 \). Теперь подставим выражение для \( a_1 \) из первого пункта, то есть \( a_1 = 2 — 2d \), в это уравнение: \( 2(2 — 2d) + 11d = -17 \). Раскроем скобки: \( 4 — 4d + 11d = -17 \). Сложим подобные слагаемые: \( 4 + 7d = -17 \). Вычтем 4 из обеих частей: \( 7d = -21 \), откуда \( d = -3 \). Теперь найдём \( a_1 \): \( a_1 = 2 — 2 \cdot (-3) = 2 + 6 = 8 \).
3) Итоговый ответ: первый член арифметической прогрессии \( a_1 = 8 \), разность \( d = -3 \). Эти значения полностью совпадают с результатами, приведёнными в примере, и получены на основе заданных условий задачи.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.