ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 219 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(9 + 17 + 25 + \ldots + (8n + 1) = 125\), где \(n\) — натуральное число;
2) \(3 + 7 + 11 + \ldots + x = 136\), где \(x\) — натуральное число.

1) Для арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 9\) и разностью \(d = 8\), сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Подставляем \(S_n = 125\): \(\frac{n}{2} \cdot (18 + 8(n — 1)) = 125\). Умножаем на 2: \(n(18 + 8n — 8) = 250\), то есть \(8n^2 + 10n — 250 = 0\). Делим на 2: \(4n^2 + 5n — 125 = 0\). Дискриминант \(D = 25 + 2000 = 2025\), корень \(n = \frac{-5 + 45}{8} = 5\). Ответ: \(n = 5\).

2) Для арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 3\) и разностью \(d = 4\), сумма первых \(n\) членов равна \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Подставляем \(S_n = 136\): \(\frac{n}{2} \cdot (6 + 4(n — 1)) = 136\). Умножаем на 2: \(n(6 + 4n — 4) = 272\), то есть \(4n^2 + 2n — 272 = 0\). Делим на 2: \(2n^2 + n — 136 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 1088 = 1089\), корень \(n = \frac{-1 + 33}{4} = 8\). Искомый член \(x = a_1 + d(n — 1) = 3 + 4 \cdot 7 = 31\). Ответ: \(x = 31\).

1) Рассмотрим уравнение \(9 + 17 + 25 + \ldots + (8n + 1) = 125\), где \(n\) — натуральное число. Заметим, что последовательность \(9, 17, 25, \ldots, (8n + 1)\) является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную разность. Определим первый член и разность прогрессии. Первый член \(a_1 = 9\), второй член \(a_2 = 17\), значит, разность \(d = a_2 — a_1 = 17 — 9 = 8\).

Теперь используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Подставим известные значения \(a_1 = 9\), \(d = 8\) и \(S_n = 125\): \(125 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 9 + 8(n — 1))\). Упростим выражение внутри скобок: \(2 \cdot 9 = 18\), \(8(n — 1) = 8n — 8\), значит, \(18 + 8n — 8 = 8n + 10\). Тогда уравнение принимает вид: \(125 = \frac{n}{2} \cdot (8n + 10)\).

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \(250 = n \cdot (8n + 10)\). Раскроем скобки: \(250 = 8n^2 + 10n\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(8n^2 + 10n — 250 = 0\). Для упрощения разделим все коэффициенты на 2: \(4n^2 + 5n — 125 = 0\).

Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = -125\). Подставим: \(D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-125) = 25 + 2000 = 2025\). Теперь найдем корни уравнения по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(n = \frac{-5 \pm \sqrt{2025}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 45}{8}\).

Рассмотрим два возможных значения. Первое: \(n = \frac{-5 + 45}{8} = \frac{40}{8} = 5\). Второе: \(n = \frac{-5 — 45}{8} = \frac{-50}{8} = -6.25\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, принимаем \(n = 5\). Проверим: сумма первых 5 членов равна \(9 + 17 + 25 + 33 + 41 = 125\), что совпадает с условием. Ответ: \(n = 5\).

2) Рассмотрим уравнение \(3 + 7 + 11 + \ldots + x = 136\), где \(x\) — натуральное число, являющееся последним членом прогрессии. Заметим, что последовательность \(3, 7, 11, \ldots, x\) является арифметической прогрессией. Первый член \(a_1 = 3\), второй член \(a_2 = 7\), значит, разность \(d = a_2 — a_1 = 7 — 3 = 4\).

Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))\). Подставим \(a_1 = 3\), \(d = 4\) и \(S_n = 136\): \(136 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 3 + 4(n — 1))\). Упростим выражение внутри скобок: \(2 \cdot 3 = 6\), \(4(n — 1) = 4n — 4\), значит, \(6 + 4n — 4 = 4n + 2\). Тогда уравнение: \(136 = \frac{n}{2} \cdot (4n + 2)\).

Умножим обе части на 2: \(272 = n \cdot (4n + 2)\). Раскроем скобки: \(272 = 4n^2 + 2n\). Перенесем все члены в одну сторону: \(4n^2 + 2n — 272 = 0\). Упростим, разделив на 2: \(2n^2 + n — 136 = 0\).

Найдем дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -136\). Подставим: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-136) = 1 + 1088 = 1089\). Корни уравнения: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 33}{4}\). Первое значение: \(n = \frac{-1 + 33}{4} = \frac{32}{4} = 8\). Второе: \(n = \frac{-1 — 33}{4} = \frac{-34}{4} = -8.5\). Принимаем \(n = 8\), так как \(n\) — натуральное число.

Теперь определим \(x\), который является \(n\)-м членом прогрессии: \(x = a_1 + d(n — 1) = 3 + 4 \cdot (8 — 1) = 3 + 4 \cdot 7 = 3 + 28 = 31\). Проверим сумму: \(3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 = 136\), что совпадает с условием. Ответ: \(x = 31\).