ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 223 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_4 = 10\,000, b_6 = 0,1\);
2) \(b_1 = 1, b_4 = 1\).

1) Из условия: \(b_1 = 10000\), \(b_6 = 0{,}1\).
Формула для \(b_6\): \(b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5\).
Подставляем: \(0{,}1 = 10000 \cdot q^5\).
Отсюда \(q^5 = \frac{0{,}1}{10000} = 10^{-5}\).
Берём корень пятой степени: \(q = \sqrt[5]{10^{-5}} = 10^{-1} = 0{,}1\).
Ответ: \(0{,}1\).

2) Из условия: \(b_3 = 1\), \(b_5 = \frac{1}{4}\).
Формулы:
\(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2\),
\(b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4\).
Выразим \(b_1\):
\(b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{b_5}{q^4}\).
Приравниваем:
\(\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_5}{q^4}\),
\(b_3 \cdot q^2 = b_5\),
Подставляем числа:
\(1 \cdot q^2 = \frac{1}{4}\),
\(q^2 = 0{,}25\),
\(q = \pm \sqrt{0{,}25} = \pm 0{,}5\).
Ответ: \(\pm 0{,}5\).

1) Дано: первый член прогрессии \(b_1 = 10000\), шестой член \(b_6 = 0{,}1\). В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель \(q\). Формула для общего члена \(b_n\) выглядит как \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Следовательно, для шестого члена: \(b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5\). Подставляем известные значения: \(0{,}1 = 10000 \cdot q^5\).

Чтобы найти \(q\), нужно выразить \(q^5\): \(q^5 = \frac{0{,}1}{10000}\). Деление даёт \(q^5 = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10000} = 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 10^{-5}\). Таким образом, \(q^5 = 10^{-5}\).

Далее извлекаем корень пятой степени из \(10^{-5}\). По свойствам степеней корень пятой степени равен возведению в степень \(\frac{1}{5}\), значит \(q = (10^{-5})^{\frac{1}{5}} = 10^{-1} = 0{,}1\). Полученное число \(q\) — это знаменатель прогрессии, то есть отношение каждого следующего члена к предыдущему. Ответ: \(0{,}1\).

2) Дано: третий член прогрессии \(b_3 = 1\), пятый член \(b_5 = \frac{1}{4}\). По формуле общего члена \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\) имеем два уравнения: \(b_3 = b_1 \cdot q^{2}\) и \(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\). Из них выразим \(b_1\): \(b_1 = \frac{b_3}{q^2}\) и \(b_1 = \frac{b_5}{q^4}\).

Приравнивая два выражения для \(b_1\), получаем уравнение: \(\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_5}{q^4}\). Умножая обе части на \(q^4\), получаем \(b_3 \cdot q^2 = b_5\). Подставляем известные значения: \(1 \cdot q^2 = \frac{1}{4}\), откуда \(q^2 = 0{,}25\).

Чтобы найти \(q\), извлекаем квадратный корень из 0,25: \(q = \pm \sqrt{0{,}25} = \pm 0{,}5\). Знак \(+\) или \(-\) возможен, так как при возведении в квадрат оба дают положительный результат. Таким образом, знаменатель прогрессии равен либо \(0{,}5\), либо \(-0{,}5\). Ответ: \(\pm 0{,}5\).