ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 224 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член геометрической прогрессии \((c_n)\), знаменатель которой равен \(q\), если:
1) \(c_1 = 4, c_2 = 2\);
2) \(c_4 = 8, c_7 = -64\).

1) Дано \( c_5 = q = \frac{2}{3} \).

Формула для члена геометрической прогрессии: \( c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 \).

Подставляем: \( \frac{2}{3} = c_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \).

Отсюда \( c_1 = \frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8} \).

Ответ: \( 3 \frac{3}{8} \).

2) Дано \( c_4 = 8 \), \( c_7 = -64 \).

Используем формулы:
\[
\begin{cases}
c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3 \\
c_7 = c_1 \cdot q^{7-1} = c_1 \cdot q^6
\end{cases}
\]

Отсюда \( c_1 = \frac{c_4}{q^3} \) и \( c_1 = \frac{c_7}{q^6} \).

Приравниваем: \( \frac{c_4}{q^3} = \frac{c_7}{q^6} \Rightarrow \frac{8}{q^3} = \frac{-64}{q^6} \).

Умножаем на \( q^6 \): \( 8 q^3 = -64 \Rightarrow q^3 = -8 \Rightarrow q = \sqrt[3]{-8} = -2 \).

Подставляем \( q \) в \( c_1 = \frac{8}{q^3} = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1 \).

Ответ: \( -1 \).

1) Рассмотрим первый случай. Нам дано, что \( c_5 = q = \frac{2}{3} \). В геометрической прогрессии каждый член выражается через первый член \( c_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \) по формуле \( c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \). Для пятого члена это будет \( c_5 = c_1 \cdot q^{5-1} = c_1 \cdot q^4 \). Подставляя известное значение \( c_5 = \frac{2}{3} \), получаем уравнение \( \frac{2}{3} = c_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \).

Далее нужно найти \( c_1 \). Для этого разделим обе части уравнения на \( \left(\frac{2}{3}\right)^4 \), что даст \( c_1 = \frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^4} \). По свойствам степеней это равносильно \( c_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{1-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} \). Отрицательная степень означает обратное число, поэтому \( c_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 \).

Вычисляя куб числа \( \frac{3}{2} \), получаем \( c_1 = \frac{27}{8} \). Это можно представить в виде смешанного числа \( 3 \frac{3}{8} \), что и является ответом.

2) Во втором случае даны значения \( c_4 = 8 \) и \( c_7 = -64 \). Используем формулу для членов геометрической прогрессии: \( c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3 \) и \( c_7 = c_1 \cdot q^{7-1} = c_1 \cdot q^6 \). Из этих уравнений можно выразить \( c_1 \) через \( c_4 \) и \( q \), а также через \( c_7 \) и \( q \): \( c_1 = \frac{c_4}{q^3} \) и \( c_1 = \frac{c_7}{q^6} \).

Приравниваем эти два выражения для \( c_1 \), чтобы найти \( q \): \( \frac{c_4}{q^3} = \frac{c_7}{q^6} \). Умножая обе части на \( q^6 \), получаем \( c_4 \cdot q^3 = c_7 \). Подставляем известные значения: \( 8 \cdot q^3 = -64 \), откуда \( q^3 = \frac{-64}{8} = -8 \).

Теперь извлекаем кубический корень из \( q^3 = -8 \), получая \( q = \sqrt[3]{-8} = -2 \). Зная \( q \), вычисляем \( c_1 \) по формуле \( c_1 = \frac{c_4}{q^3} = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1 \).

Ответ: \( -1 \).