ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 224 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член геометрической прогрессии \((c_n)\), знаменатель которой равен \(q\), если:
1) \(c_1 = 4, c_2 = 2\);
2) \(c_4 = 8, c_7 = -64\).

1) Для \(c_1 = 4\), \(c_2 = 2\) находим знаменатель \(q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Первый член прогрессии уже дан: \(c_1 = 4\).
Ответ: 4.

2) Для \(c_4 = 8\), \(c_7 = -64\) используем формулу \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\). Имеем \(c_4 = c_1 \cdot q^3 = 8\) и \(c_7 = c_1 \cdot q^6 = -64\). Поделим второе уравнение на первое: \(\frac{c_7}{c_4} = \frac{c_1 \cdot q^6}{c_1 \cdot q^3} = q^3 = \frac{-64}{8} = -8\), откуда \(q = \sqrt[3]{-8} = -2\). Подставим \(q = -2\) в первое уравнение: \(c_1 \cdot (-2)^3 = 8\), то есть \(c_1 \cdot (-8) = 8\), откуда \(c_1 = -1\).
Ответ: -1.

1) Дано: \(c_1 = 4\), \(c_2 = 2\). Необходимо найти первый член геометрической прогрессии, который уже известен как \(c_1\). В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель \(q\). Найдем \(q\) из условия \(c_2 = c_1 \cdot q\), откуда \(q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Таким образом, прогрессия начинается с \(c_1 = 4\), и второй член \(c_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\), что соответствует условию.

Поскольку первый член прогрессии уже дан в условии как \(c_1 = 4\), дополнительных вычислений для его нахождения не требуется. Ответ для первого случая очевиден и не нуждается в дальнейших расчетах.

Ответ: 4.

2) Дано: \(c_4 = 8\), \(c_7 = -64\). Необходимо найти первый член геометрической прогрессии \(c_1\). Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(c_n = c_1 \cdot q^{n-1}\), где \(q\) — знаменатель прогрессии. Для \(c_4\) имеем уравнение \(c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3 = 8\), а для \(c_7\) — уравнение \(c_7 = c_1 \cdot q^{7-1} = c_1 \cdot q^6 = -64\).

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить \(c_1\): \(\frac{c_7}{c_4} = \frac{c_1 \cdot q^6}{c_1 \cdot q^3} = q^{6-3} = q^3 = \frac{-64}{8} = -8\). Таким образом, \(q^3 = -8\), откуда \(q = \sqrt[3]{-8} = -2\).

Теперь подставим найденное значение \(q = -2\) в первое уравнение для нахождения \(c_1\): \(c_1 \cdot (-2)^3 = 8\), то есть \(c_1 \cdot (-8) = 8\). Отсюда \(c_1 = \frac{8}{-8} = -1\).

Проверим результат с помощью второго уравнения: \(c_1 \cdot q^6 = -1 \cdot (-2)^6 = -1 \cdot 64 = -64\), что соответствует условию \(c_7 = -64\). Также проверим для \(c_4\): \(c_1 \cdot q^3 = -1 \cdot (-2)^3 = -1 \cdot (-8) = 8\), что совпадает с \(c_4 = 8\). Значит, решение верно.

Ответ: -1.