ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 226 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой n-го члена \(b_n = 8 \cdot 5^{n+1}\). Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Последовательность задана формулой \( b_n = 3 \cdot 5^{n+1} \).

Для проверки, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдём отношение соседних членов:

\[
q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 5^{(n+1)+1}}{3 \cdot 5^{n+1}} = \frac{3 \cdot 5^{n+2}}{3 \cdot 5^{n+1}} = 5^{(n+2)-(n+1)} = 5.
\]

Так как \(q\) не зависит от \(n\), последовательность является геометрической прогрессией с знаменателем \(q = 5\).

Найдём первый член прогрессии при \(n=1\):

\[
b_1 = 3 \cdot 5^{1+1} = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75.
\]

Ответ: первый член \(b_1 = 75\), знаменатель прогрессии \(q = 5\).

Последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n = 3 \cdot 5^{n+1}\). Нам нужно определить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, и если да, то найти её первый член и знаменатель.

1) Для проверки, является ли последовательность геометрической прогрессией, найдём отношение следующего члена к текущему, то есть \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\). Вычислим \(b_{n+1}\): \(b_{n+1} = 3 \cdot 5^{(n+1)+1} = 3 \cdot 5^{n+2}\). Теперь найдём отношение: \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 5^{n+2}}{3 \cdot 5^{n+1}} = 5^{\frac{n+2}{n+1}} = 5^{1} = 5\). Поскольку отношение не зависит от \(n\) и является постоянным, последовательность является геометрической прогрессией с знаменателем \(q = 5\).

2) Найдём первый член прогрессии \(b_1\). Подставим \(n = 1\) в формулу: \(b_1 = 3 \cdot 5^{1+1} = 3 \cdot 5^{2} = 3 \cdot 25 = 75\). Таким образом, первый член последовательности равен 75.

Итак, последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(b_1 = 75\) и знаменателем \(q = 5\).