ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 227 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_6 = 4b_4\) и \(b_2 + b_5 = 108\);
2) \(b_3 + b_6 = 420\) и \(b_4 — b_5 + b_6 = 315\).

1) Для геометрической прогрессии с условиями \(b_6 = 4b_4\) и \(b_2 + b_5 = 108\):
Из \(b_6 = 4b_4\) следует \(b_1 \cdot q^5 = 4 \cdot b_1 \cdot q^3\), откуда \(q^2 = 4\), то есть \(q = 2\) или \(q = -2\).
Из \(b_2 + b_5 = 108\) имеем \(b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4 = 108\), или \(b_1 \cdot q \cdot (1 + q^3) = 108\).
— При \(q = 2\): \(b_1 \cdot 2 \cdot (1 + 8) = 108\), откуда \(b_1 \cdot 18 = 108\), \(b_1 = 6\).
— При \(q = -2\): \(b_1 \cdot (-2) \cdot (1 — 8) = 108\), откуда \(b_1 \cdot 14 = 108\), \(b_1 = \frac{54}{7}\).
Ответ: \(b_1 = 6, q = 2\) или \(b_1 = \frac{54}{7}, q = -2\).

2) Для условий \(b_3 + b_6 = 420\) и \(b_4 — b_5 + b_6 = 315\):
Из \(b_3 + b_6 = 420\) следует \(b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^5 = 420\), или \(b_1 \cdot q^2 \cdot (1 + q^3) = 420\).
Из \(b_4 — b_5 + b_6 = 315\) имеем \(b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q^4 + b_1 \cdot q^5 = 315\), или \(b_1 \cdot q^3 \cdot (1 — q + q^2) = 315\).
Поделив уравнения, получаем \(\frac{q^2 \cdot (1 + q^3)}{q^3 \cdot (1 — q + q^2)} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}\), откуда после упрощений \(4q — 4q^2 + 4q^3 = 3 + 3q^3\), или \(q^3 — 4q^2 + 4q — 3 = 0\).
Решаем кубическое уравнение: \(q — 3 = 0\), \(q = 3\).
Подставляем \(q = 3\): \(b_1 \cdot 9 \cdot (1 + 27) = 420\), откуда \(b_1 \cdot 252 = 420\), \(b_1 = \frac{5}{3}\).
Ответ: \(b_1 = \frac{5}{3}, q = 3\).

1) Рассмотрим первую задачу на нахождение первого члена \(b_1\) и знаменателя \(q\) геометрической прогрессии, если даны условия \(b_6 = 4b_4\) и \(b_2 + b_5 = 108\). Напомним, что общий член геометрической прогрессии выражается как \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Используем эту формулу для записи всех членов прогрессии, упомянутых в условиях.

Выразим члены прогрессии через \(b_1\) и \(q\). Для \(b_6\) имеем \(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\), для \(b_4\) — \(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\), для \(b_2\) — \(b_2 = b_1 \cdot q^{1}\), а для \(b_5\) — \(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\). Подставим эти выражения в первое условие \(b_6 = 4b_4\): \(b_1 \cdot q^{5} = 4 \cdot b_1 \cdot q^{3}\). Если \(b_1 \neq 0\), то можно сократить на \(b_1\), получаем \(q^{5} = 4 \cdot q^{3}\), или \(q^{2} = 4\). Отсюда \(q = 2\) или \(q = -2\).

Теперь рассмотрим второе условие \(b_2 + b_5 = 108\). Подставим выражения для \(b_2\) и \(b_5\): \(b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^{4} = 108\). Вынесем \(b_1\) за скобки: \(b_1 \cdot (q + q^{4}) = 108\). Рассмотрим оба значения \(q\), полученные ранее, чтобы найти \(b_1\).

Если \(q = 2\), то \(q + q^{4} = 2 + 2^{4} = 2 + 16 = 18\). Тогда \(b_1 \cdot 18 = 108\), откуда \(b_1 = \frac{108}{18} = 6\). Проверим: \(b_2 = 6 \cdot 2 = 12\), \(b_5 = 6 \cdot 2^{4} = 6 \cdot 16 = 96\), сумма \(12 + 96 = 108\), что совпадает с условием. Также проверим первое условие: \(b_4 = 6 \cdot 2^{3} = 6 \cdot 8 = 48\), \(b_6 = 6 \cdot 2^{5} = 6 \cdot 32 = 192\), и \(4 \cdot 48 = 192\), что также выполняется.

Если \(q = -2\), то \(q + q^{4} = -2 + (-2)^{4} = -2 + 16 = 14\). Тогда \(b_1 \cdot 14 = 108\), откуда \(b_1 = \frac{108}{14} = \frac{54}{7}\). Проверим: \(b_2 = \frac{54}{7} \cdot (-2) = -\frac{108}{7}\), \(b_5 = \frac{54}{7} \cdot 16 = \frac{864}{7}\), сумма \(-\frac{108}{7} + \frac{864}{7} = \frac{756}{7} = 108\), что совпадает. Первое условие: \(b_4 = \frac{54}{7} \cdot (-8) = -\frac{432}{7}\), \(b_6 = \frac{54}{7} \cdot 32 = \frac{1728}{7}\), и \(4 \cdot (-\frac{432}{7}) = -\frac{1728}{7}\), но \(b_6 = \frac{1728}{7}\), что не совпадает. Перепроверим расчет: \(q^{5} = (-2)^{5} = -32\), \(b_6 = \frac{54}{7} \cdot (-32) = -\frac{1728}{7}\), и \(4 \cdot b_4 = 4 \cdot (-\frac{432}{7}) = -\frac{1728}{7}\), теперь совпадает.

Таким образом, для первой задачи получаем два решения: \(b_1 = 6, q = 2\) и \(b_1 = \frac{54}{7}, q = -2\).

2) Перейдем ко второй задаче, где даны условия \(b_3 + b_6 = 420\) и \(b_4 — b_5 + b_6 = 315\). Снова используем формулу общего члена \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Выразим все члены прогрессии: \(b_3 = b_1 \cdot q^{2}\), \(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\), \(b_4 = b_1 \cdot q^{3}\), \(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\).

Подставим в первое условие \(b_3 + b_6 = 420\): \(b_1 \cdot q^{2} + b_1 \cdot q^{5} = 420\), или \(b_1 \cdot q^{2} \cdot (1 + q^{3}) = 420\). Из второго условия \(b_4 — b_5 + b_6 = 315\) имеем \(b_1 \cdot q^{3} — b_1 \cdot q^{4} + b_1 \cdot q^{5} = 315\), или \(b_1 \cdot q^{3} \cdot (1 — q + q^{2}) = 315\).

Чтобы устранить \(b_1\), разделим первое уравнение на второе: \(\frac{q^{2} \cdot (1 + q^{3})}{q^{3} \cdot (1 — q + q^{2})} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}\). Упростим: \(\frac{1 + q^{3}}{q \cdot (1 — q + q^{2})} = \frac{4}{3}\), откуда \(3 \cdot (1 + q^{3}) = 4 \cdot q \cdot (1 — q + q^{2})\). Раскроем скобки: \(3 + 3q^{3} = 4q — 4q^{2} + 4q^{3}\), приведем к стандартному виду: \(4q^{3} — 3q^{3} — 4q^{2} + 4q — 3 = 0\), или \(q^{3} — 4q^{2} + 4q — 3 = 0\).

Решаем кубическое уравнение. Подставим \(q = 3\): \(3^{3} — 4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 — 3 = 27 — 36 + 12 — 3 = 0\), подходит. Разложим уравнение: \(q^{3} — 4q^{2} + 4q — 3 = (q — 3) \cdot (q^{2} — q + 1)\). Для \(q^{2} — q + 1 = 0\) дискриминант \(D = 1 — 4 = -3 < 0\), корней нет. Значит, \(q = 3\). Подставим \(q = 3\) в первое уравнение: \(b_1 \cdot 3^{2} \cdot (1 + 3^{3}) = 420\), или \(b_1 \cdot 9 \cdot 28 = 420\), откуда \(b_1 \cdot 252 = 420\), \(b_1 = \frac{420}{252} = \frac{5}{3}\). Проверим: \(b_3 = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15\), \(b_6 = \frac{5}{3} \cdot 243 = 405\), сумма \(15 + 405 = 420\). Второе условие: \(b_4 = \frac{5}{3} \cdot 27 = 45\), \(b_5 = \frac{5}{3} \cdot 81 = 135\), \(b_6 = 405\), итог \(45 - 135 + 405 = 315\), совпадает. Таким образом, для второй задачи решение: \(b_1 = \frac{5}{3}, q = 3\).