ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 228 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Какие три числа надо вставить между числами 256 и 1, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Дана геометрическая прогрессия с \(b_1 = 256\) и \(b_5 = 1\).

Найдем знаменатель прогрессии \(q\):

\(q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}} = \pm \frac{1}{4} = \pm 0,25\).

Если \(q = -0,25\), тогда:

\(b_1 = 256\),

\(b_2 = 256 \cdot (-0,25) = -64\),

\(b_3 = -64 \cdot (-0,25) = 16\),

\(b_4 = 16 \cdot (-0,25) = -4\),

\(b_5 = -4 \cdot (-0,25) = 1\).

Если \(q = 0,25\), тогда:

\(b_1 = 256\),

\(b_2 = 256 \cdot 0,25 = 64\),

\(b_3 = 64 \cdot 0,25 = 16\),

\(b_4 = 16 \cdot 0,25 = 4\),

\(b_5 = 4 \cdot 0,25 = 1\).

Ответ: \(256; -64; 16; -4; 1\) или \(256; 64; 16; 4; 1\).

1) Дана геометрическая прогрессия, где первый член \(b_1 = 256\), а пятый член \(b_5 = 1\). Нам нужно найти три числа между ними, чтобы все пять чисел образовывали геометрическую прогрессию. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель прогрессии \(q\). Формула для \(n\)-го члена прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Для пятого члена: \(b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4\). Подставим значения: \(1 = 256 \cdot q^4\). Отсюда \(q^4 = \frac{1}{256}\). Чтобы найти \(q\), извлечем корень четвертой степени: \(q = \pm \left(\frac{1}{256}\right)^{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{4} = \pm 0.25\). Таким образом, знаменатель прогрессии может быть либо \(q = 0.25\), либо \(q = -0.25\).

2) Рассмотрим случай, когда \(q = -0.25\). Тогда члены прогрессии вычисляются следующим образом:
— \(b_1 = 256\),
— \(b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot (-0.25) = -64\),
— \(b_3 = b_2 \cdot q = -64 \cdot (-0.25) = 16\),
— \(b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-0.25) = -4\),
— \(b_5 = b_4 \cdot q = -4 \cdot (-0.25) = 1\).
Получаем последовательность: 256, -64, 16, -4, 1. Здесь чередуются знаки, что характерно для отрицательного знаменателя прогрессии.

3) Теперь рассмотрим случай, когда \(q = 0.25\). Вычислим члены прогрессии:
— \(b_1 = 256\),
— \(b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot 0.25 = 64\),
— \(b_3 = b_2 \cdot q = 64 \cdot 0.25 = 16\),
— \(b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 0.25 = 4\),
— \(b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot 0.25 = 1\).
Получаем последовательность: 256, 64, 16, 4, 1. Все члены положительные, что соответствует положительному знаменателю прогрессии.

Ответ: три числа, которые нужно вставить между 256 и 1, могут быть либо -64, 16, -4, либо 64, 16, 4. Таким образом, возможные последовательности: 256, -64, 16, -4, 1 или 256, 64, 16, 4, 1.