ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 229 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x — 1\), \(1 — 2x\) и \(x + 7\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия: \( b_1 = x — 1 \), \( b_2 = 1 — 2x \), \( b_3 = x + 7 \).

По свойству геометрической прогрессии: \( b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \), значит
\((1 — 2x)^2 = (x — 1)(x + 7) \).

Раскроем скобки:
\(1 — 4x + 4x^2 = x^2 + 7x — x — 7\),
\(1 — 4x + 4x^2 = x^2 + 6x — 7\).

Приведём к квадратному уравнению:
\(3x^2 — 10x + 8 = 0\).

Дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\).

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{10 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\),
\(x_2 = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\).

Если \(x = 1 \frac{1}{3}\), тогда:
\(b_1 = 1 \frac{1}{3} — 1 = \frac{1}{3}\),
\(b_2 = 1 — 2 \cdot 1 \frac{1}{3} = 1 — \frac{8}{3} = — \frac{5}{3}\),
\(b_3 = 1 \frac{1}{3} + 7 = 8 \frac{1}{3}\).

Если \(x = 2\), тогда:
\(b_1 = 2 — 1 = 1\),
\(b_2 = 1 — 2 \cdot 2 = 1 — 4 = -3\),
\(b_3 = 2 + 7 = 9\).

Ответ:
при \(x = 1 \frac{1}{3}\) прогрессия \(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 8 \frac{1}{3}\);
при \(x = 2\) прогрессия \(1, -3, 9\).

1) Рассмотрим заданную геометрическую прогрессию с первыми тремя членами:
\(b_1 = x — 1\),
\(b_2 = 1 — 2x\),
\(b_3 = x + 7\).
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой отношение любого члена к предыдущему одинаково для всех членов, начиная со второго. Это означает, что отношение \( \frac{b_2}{b_1} \) равно отношению \( \frac{b_3}{b_2} \). Из этого свойства следует, что квадрат среднего члена равен произведению соседних: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Именно это равенство и будем использовать для нахождения значения \(x\).

2) Подставим выражения для членов прогрессии в уравнение:
\((1 — 2x)^2 = (x — 1)(x + 7)\).
Раскроем скобки в левой части:
\( (1 — 2x)^2 = 1 — 4x + 4x^2 \),
а в правой части произведём умножение:
\((x — 1)(x + 7) = x^2 + 7x — x — 7 = x^2 + 6x — 7\).
Теперь приравняем обе части:
\(1 — 4x + 4x^2 = x^2 + 6x — 7\).

3) Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения для приведения к стандартному виду квадратного уравнения:
\(4x^2 — 4x + 1 — x^2 — 6x + 7 = 0\).
Объединяем подобные члены:
\(3x^2 — 10x + 8 = 0\).
Это классическое квадратное уравнение, которое решается через дискриминант.

4) Вычислим дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\).
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Находим их по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{6}\).
Первый корень:
\(x_1 = \frac{10 — 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\).
Второй корень:
\(x_2 = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2\).

5) Проверим значения членов прогрессии для каждого корня.
Если \(x = \frac{4}{3}\), тогда:
\(b_1 = \frac{4}{3} — 1 = \frac{4}{3} — \frac{3}{3} = \frac{1}{3}\),
\(b_2 = 1 — 2 \cdot \frac{4}{3} = 1 — \frac{8}{3} = \frac{3}{3} — \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}\),
\(b_3 = \frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3} = 8 \frac{1}{3}\).
Проверим условие геометрической прогрессии:
\(b_2^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}\),
\(b_1 \cdot b_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25}{9}\).
Условие выполнено.

6) Если \(x = 2\), тогда:
\(b_1 = 2 — 1 = 1\),
\(b_2 = 1 — 2 \cdot 2 = 1 — 4 = -3\),
\(b_3 = 2 + 7 = 9\).
Проверим условие:
\(b_2^2 = (-3)^2 = 9\),
\(b_1 \cdot b_3 = 1 \cdot 9 = 9\).
Условие также выполнено.

Ответ:
при \(x = 1 \frac{1}{3}\) прогрессия равна \(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, 8 \frac{1}{3}\);
при \(x = 2\) прогрессия равна \(1, -3, 9\).