ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 229 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x — 1\), \(1 — 2x\) и \(x + 7\) будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для геометрической прогрессии справедливо свойство: квадрат второго члена равен произведению первого и третьего. То есть для членов \((x — 1)\), \((1 — 2x)\) и \((x + 7)\) должно выполняться уравнение \((1 — 2x)^2 = (x — 1)(x + 7)\). Раскроем обе части: левая часть \((1 — 2x)^2 = 1 — 4x + 4x^2\), правая часть \((x — 1)(x + 7) = x^2 + 6x — 7\). Приравняем и приведем к стандартному виду: \(4x^2 — 4x + 1 — x^2 — 6x + 7 = 0\), что дает \(3x^2 — 10x + 8 = 0\). Решаем это квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\). Тогда корни: \(x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{10 \pm 2}{6}\). Получаем \(x_1 = \frac{12}{6} = 2\) и \(x_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

При \(x = 2\): члены прогрессии равны \(2 — 1 = 1\), \(1 — 4 = -3\), \(2 + 7 = 9\).

При \(x = \frac{4}{3}\): члены прогрессии равны \(\frac{4}{3} — 1 = \frac{1}{3}\), \(1 — 2 \cdot \frac{4}{3} = 1 — \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}\), \(\frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3}\).

Ответ: значения \(x = 2\) и \(x = \frac{4}{3}\); члены прогрессии при \(x = 2\): \(1, -3, 9\); при \(x = \frac{4}{3}\): \(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}\).

1) Дана геометрическая прогрессия с членами \(b_1 = x — 1\), \(b_2 = 1 — 2x\), \(b_3 = x + 7\). Нам нужно найти значение \(x\), при котором эти выражения образуют геометрическую прогрессию, то есть выполняют свойство, что каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

2) Для геометрической прогрессии справедливо свойство: квадрат второго члена равен произведению первого и третьего членов. Запишем это условие как \((b_2)^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим выражения: \((1 — 2x)^2 = (x — 1)(x + 7)\). Раскроем левую часть: \((1 — 2x)^2 = 1 — 4x + 4x^2\). Теперь раскроем правую часть: \((x — 1)(x + 7) = x^2 + 7x — x — 7 = x^2 + 6x — 7\). Приравняем левую и правую части: \(1 — 4x + 4x^2 = x^2 + 6x — 7\). Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю: \(4x^2 — 4x + 1 — x^2 — 6x + 7 = 0\). Упростим: \(3x^2 — 10x + 8 = 0\). Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4\). Так как \(D > 0\), у уравнения есть два корня. Найдем их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 8\). Тогда \(x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2\). Второй корень: \(x_2 = \frac{10 — 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

3) Проверим значение \(x = \frac{4}{3}\). Подставим в выражения для членов прогрессии. Первый член: \(b_1 = \frac{4}{3} — 1 = \frac{4}{3} — \frac{3}{3} = \frac{1}{3}\). Второй член: \(b_2 = 1 — 2 \cdot \frac{4}{3} = 1 — \frac{8}{3} = \frac{3}{3} — \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}\). Третий член: \(b_3 = \frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3}\). Проверим, является ли это геометрической прогрессией. Знаменатель между первым и вторым членом: \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} = -5\). Знаменатель между вторым и третьим членом: \(\frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{25}{3}}{-\frac{5}{3}} = -5\). Знаменатель одинаковый, значит, это геометрическая прогрессия.

4) Проверим значение \(x = 2\). Первый член: \(b_1 = 2 — 1 = 1\). Второй член: \(b_2 = 1 — 2 \cdot 2 = 1 — 4 = -3\). Третий член: \(b_3 = 2 + 7 = 9\). Проверим знаменатель: \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3\), \(\frac{b_3}{b_2} = \frac{9}{-3} = -3\). Знаменатель одинаковый, значит, это тоже геометрическая прогрессия.

5) Ответ: значения \(x\), при которых выражения образуют геометрическую прогрессию, равны \(\frac{4}{3}\) и \(2\). Члены прогрессии: при \(x = \frac{4}{3}\): \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{5}{3}\), \(\frac{25}{3}\); при \(x = 2\): \(1\), \(-3\), \(9\).