Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 230 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 4 и 5, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.
Сумма трёх чисел арифметической прогрессии равна 30, то есть \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\). Поскольку это арифметическая прогрессия с разностью \(d\), имеем \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\). Подставляя, получаем \(3a_1 + 3d = 30\), откуда \(a_1 + d = 10\). Тогда \(a_1 = 10 — d\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 10 + d\). После вычитания 4 из второго числа и 5 из третьего получаем числа \(b_1 = a_1 = 10 — d\), \(b_2 = a_2 — 4 = 6\), \(b_3 = a_3 — 5 = 5 + d\), которые образуют геометрическую прогрессию, то есть \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставляя, получаем \(6^2 = (10 — d)(5 + d)\), или \(36 = 50 + 5d — d^2\). Приводим к уравнению \(d^2 — 5d — 14 = 0\). Дискриминант \(D = 25 + 56 = 81\), откуда \(d = \frac{5 \pm 9}{2}\), то есть \(d = 7\) или \(d = -2\). При \(d = 7\): \(a_1 = 3\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 17\). При \(d = -2\): \(a_1 = 12\), \(a_2 = 10\), \(a_3 = 8\). Ответ: числа могут быть 3, 10, 17 или 12, 10, 8.
1) Пусть дана арифметическая прогрессия \((a_n)\) с разностью \(d\): \(a_1\); \(a_2 = a_1 + d\); \(a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d\). Мы будем использовать эти выражения для нахождения чисел.
2) Сумма данных чисел равна 30, значит: \(a_1 + a_2 + a_3 = 30\). Подставим выражения через \(a_1\) и \(d\): \(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 30\). Сложим подобные слагаемые: \(3a_1 + 3d = 30\). Разделим обе части на 3: \(a_1 + d = 10\). Тогда \(a_1 = 10 — d\). Теперь выразим остальные числа: \(a_2 = (10 — d) + d = 10\); \(a_3 = (10 — d) + 2d = 10 + d\).
3) Вычтем из второго и третьего чисел 4 и 5 соответственно, чтобы получить новые числа: \(b_1 = a_1 = 10 — d\); \(b_2 = a_2 — 4 = 10 — 4 = 6\); \(b_3 = a_3 — 5 = (10 + d) — 5 = 5 + d\). Эти числа должны образовать геометрическую прогрессию.
4) Поскольку \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) образуют геометрическую прогрессию, должно выполняться условие: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\). Подставим значения: \(6^2 = (10 — d)(5 + d)\). Вычислим: \(36 = 50 + 10d — 5d — d^2\). Упростим выражение: \(36 = 50 + 5d — d^2\). Приведем уравнение к стандартному виду: \(d^2 — 5d — 14 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = 25 + 56 = 81\). Тогда корни уравнения: \(d_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2\); \(d_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\).
5) Если \(d = -2\), тогда: \(a_1 = 10 — (-2) = 12\); \(a_2 = 10\); \(a_3 = 10 + (-2) = 8\). Проверим сумму: \(12 + 10 + 8 = 30\), что совпадает с условием. После вычитания: \(b_1 = 12\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 3\), и \(6^2 = 12 \cdot 3\), то есть \(36 = 36\), условие геометрической прогрессии выполнено.
6) Если \(d = 7\), тогда: \(a_1 = 10 — 7 = 3\); \(a_2 = 10\); \(a_3 = 10 + 7 = 17\). Проверим сумму: \(3 + 10 + 17 = 30\), что совпадает с условием. После вычитания: \(b_1 = 3\), \(b_2 = 6\), \(b_3 = 12\), и \(6^2 = 3 \cdot 12\), то есть \(36 = 36\), условие геометрической прогрессии также выполнено.
Ответ: числа могут быть 12, 10, 8 или 3, 10, 17.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.