ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 231 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 8\), а знаменатель \(q = \frac{1}{2}\).

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) с \(b_1 = 8\) и знаменателем \(q = \frac{1}{2}\) находится по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим значения: \(S_5 = 8 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 — 1}{\frac{1}{2} — 1} = 8 \cdot \frac{\frac{1}{32} — 1}{-\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{31}{16} = \frac{248}{16} = 15.5\). Ответ: 15.5.

1. Для решения задачи о нахождении суммы пяти первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) нам даны начальные условия: первый член прогрессии \(b_1 = 8\), а знаменатель (или общий множитель) прогрессии \(q = \frac{1}{2}\). Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

2. Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), где \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — количество членов, сумму которых нужно найти. Эта формула применима, если \(q \neq 1\), что в нашем случае выполняется, так как \(q = \frac{1}{2}\).

3. В нашей задаче нужно найти сумму первых пяти членов, то есть \(n = 5\). Подставим данные в формулу: \(S_5 = 8 \cdot \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5 — 1}{\frac{1}{2} — 1}\). Теперь разберем вычисления шаг за шагом, чтобы избежать ошибок.

4. Сначала вычислим значение \(\left(\frac{1}{2}\right)^5\). Это равно \(\frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}\). Таким образом, числитель в формуле становится \(\frac{1}{32} — 1\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{1}{32} — \frac{32}{32} = \frac{1 — 32}{32} = \frac{-31}{32}\).

5. Теперь рассмотрим знаменатель формулы: \(\frac{1}{2} — 1 = \frac{1}{2} — \frac{2}{2} = \frac{-1}{2}\). Таким образом, наша формула принимает вид: \(S_5 = 8 \cdot \frac{\frac{-31}{32}}{\frac{-1}{2}}\). Деление дробей эквивалентно умножению на обратную дробь, поэтому \(\frac{\frac{-31}{32}}{\frac{-1}{2}} = \frac{-31}{32} \cdot \frac{2}{-1} = \frac{-31 \cdot 2}{32 \cdot (-1)} = \frac{-62}{-32} = \frac{62}{32}\).

6. Упростим дробь \(\frac{62}{32}\), разделив числитель и знаменатель на 2: \(\frac{62 \div 2}{32 \div 2} = \frac{31}{16}\). Теперь умножим на 8: \(8 \cdot \frac{31}{16} = \frac{8 \cdot 31}{16} = \frac{248}{16}\). Снова упростим: \(\frac{248}{16} = 15.5\), так как \(248 \div 16 = 15.5\).

7. Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна \(15.5\). Чтобы убедиться в правильности, можно вычислить каждый член прогрессии и сложить их. Первый член: \(b_1 = 8\). Второй: \(b_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\). Третий: \(b_3 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\). Четвертый: \(b_4 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\). Пятый: \(b_5 = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5\). Сумма: \(8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5\).

8. Оба метода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений. Формула суммы геометрической прогрессии позволяет быстро получить ответ, особенно когда количество членов велико, но проверка через пошаговое сложение полезна для понимания.

9. Важно отметить, что знаменатель \(q = \frac{1}{2}\) меньше 1, поэтому члены прогрессии уменьшаются, а сумма сходится к определенному значению. Если бы \(q\) был больше 1, сумма бы увеличивалась, но формула оставалась бы той же.

10. Итог: сумма пяти первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) с \(b_1 = 8\) и \(q = \frac{1}{2}\) равна \(15.5\). Ответ: \(15.5\).