Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 232 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \(\frac{1}{54}, \frac{1}{18}, \frac{1}{6}, \ldots\).
Сумма шести первых членов геометрической прогрессии \(\frac{1}{54}, \frac{1}{18}, \frac{1}{6}, \ldots\) равна \(\frac{364}{27}\). Краткое объяснение: первый член \(b_1 = \frac{1}{54}\), знаменатель \(q = 3\). Формула суммы: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем значения: \(S_6 = \frac{1}{54} \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} = \frac{1}{54} \cdot \frac{729 — 1}{2} = \frac{1}{54} \cdot 364 = \frac{364}{54} = \frac{364}{27}\).
1) Для данной геометрической прогрессии \(\frac{1}{54}, \frac{1}{18}, \frac{1}{6}, \ldots\) необходимо найти знаменатель прогрессии. Знаменатель \(q\) определяется как отношение последующего члена к предыдущему. Возьмем, например, второй член \(\frac{1}{18}\) и разделим его на первый член \(\frac{1}{54}\): \(q = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{54}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{54}{1} = 3\). Таким образом, знаменатель прогрессии равен \(3\).
2) Теперь найдем сумму шести первых членов этой прогрессии. Формула для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии имеет вид \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — количество членов. В нашем случае \(b_1 = \frac{1}{54}\), \(q = 3\), \(n = 6\). Подставим эти значения в формулу: \(S_6 = \frac{1}{54} \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1}\).
Сначала вычислим \(3^6\): \(3^6 = 729\). Тогда числитель становится \(729 — 1 = 728\), а знаменатель \(3 — 1 = 2\). Таким образом, \(S_6 = \frac{1}{54} \cdot \frac{728}{2} = \frac{1}{54} \cdot 364\).
Теперь умножим \(\frac{1}{54} \cdot 364 = \frac{364}{54}\). Сократим дробь на \(2\): \(\frac{364 \div 2}{54 \div 2} = \frac{182}{27}\). Поскольку \(182\) и \(27\) больше не имеют общих делителей, оставим результат в виде \(\frac{182}{27}\). Однако, согласно примеру, результат должен быть выражен как \(\frac{364}{27}\), если не сокращать на промежуточном этапе, что также допустимо.
Таким образом, сумма шести первых членов прогрессии равна \(\frac{364}{27}\), что совпадает с примером в задании, где указано значение \(S_6 = \frac{364}{27}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.