ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 232 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии \(\frac{1}{54}, \frac{1}{18}, \frac{1}{6}, \ldots\).

Дана геометрическая прогрессия с первыми членами \( b_1 = \frac{1}{54} \), \( b_2 = \frac{1}{18} \).

Найдем знаменатель прогрессии:
\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{54}} = \frac{1}{18} \cdot 54 = 3 \).

Сумма шести первых членов прогрессии вычисляется по формуле:
\( S_6 = b_1 \cdot \frac{q^6 — 1}{q — 1} = \frac{1}{54} \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} = \frac{1}{54} \cdot \frac{729 — 1}{2} = \frac{728}{54 \cdot 2} = \frac{728}{108} = \frac{364}{54} = \frac{182}{27} = 6 \frac{20}{27} \).

Ответ: \( 6 \frac{20}{27} \).

1) Дана геометрическая прогрессия с первыми двумя членами \( b_1 = \frac{1}{54} \) и \( b_2 = \frac{1}{18} \). Чтобы найти знаменатель прогрессии \( q \), нужно разделить второй член на первый, то есть вычислить отношение \( q = \frac{b_2}{b_1} \). Подставляем значения: \( q = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{54}} \). Деление дробей происходит как умножение первой дроби на обратную второй, поэтому \( q = \frac{1}{18} \cdot \frac{54}{1} \). Умножая числители и знаменатели, получаем \( q = \frac{54}{18} = 3 \). Таким образом, знаменатель прогрессии равен 3.

2) Теперь нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Подставим наши данные: \( S_6 = \frac{1}{54} \cdot \frac{3^6 — 1}{3 — 1} \). Сначала вычислим степень: \( 3^6 = 729 \), значит \( 3^6 — 1 = 728 \). Знаменатель выражения равен \( 3 — 1 = 2 \). Подставляем в формулу: \( S_6 = \frac{1}{54} \cdot \frac{728}{2} \).

3) Далее упростим выражение. Делим 728 на 2, получаем 364, значит \( S_6 = \frac{1}{54} \cdot 364 = \frac{364}{54} \). Чтобы упростить дробь, делим числитель и знаменатель на 2: \( \frac{364}{54} = \frac{182}{27} \). Теперь представим это число в смешанном виде: \( \frac{182}{27} = 6 \frac{20}{27} \), так как \( 27 \times 6 = 162 \), а остаток \( 182 — 162 = 20 \). Таким образом, сумма шести первых членов прогрессии равна \( 6 \frac{20}{27} \).