Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 233 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:
1) \(b_1 = 100, q = 4\);
2) \(b_1 = 2\sqrt{2}, b_7 = 16\sqrt{2}, q > 0\);
3) \(b_2 = 12, b_6 = 324\).
1) Для \(b_1 = 100\), \(q = 4\): сумма \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 100 \cdot \frac{4^4 — 1}{4 — 1} = 100 \cdot \frac{256 — 1}{3} = 100 \cdot 85 = 8500\). Ответ: 8500.
2) Для \(b_1 = 2\sqrt{2}\), \(b_7 = 16\sqrt{2}\), \(q > 0\): найдём \(q\) из \(b_7 = b_1 \cdot q^{6}\), то есть \(16\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot q^{6}\), откуда \(q^{6} = 8\), \(q = \sqrt[6]{8} = \sqrt{2}\). Сумма \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{(\sqrt{2})^4 — 1}{\sqrt{2} — 1} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{4 — 1}{\sqrt{2} — 1} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} =\)
\(= 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot (\sqrt{2} + 1) = 6 \cdot (2 + \sqrt{2}) = 12 + 6\sqrt{2}\). Ответ: \(12 + 6\sqrt{2}\).
3) Для \(b_2 = 12\), \(b_6 = 324\): найдём \(q\) из \(b_6 = b_2 \cdot q^{4}\), то есть \(324 = 12 \cdot q^{4}\), откуда \(q^{4} = 27\), \(q = \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}\), но проще выразить через \(q^3 = \frac{324}{12} = 27\), \(q = 3\). Тогда \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{12}{3} = 4\). Сумма \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 4 \cdot \frac{3^4 — 1}{3 — 1} = 4 \cdot \frac{81 — 1}{2} = 4 \cdot 40 = 160\). Ответ: 160.
1) Рассмотрим первую задачу, где даны первый член геометрической прогрессии \(b_1 = 100\) и знаменатель \(q = 4\). Наша цель — найти сумму первых четырёх членов прогрессии, то есть \(S_4\).
Для геометрической прогрессии сумма первых \(n\) членов вычисляется по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), если \(q \neq 1\). В данном случае \(n = 4\), \(b_1 = 100\), \(q = 4\). Подставим значения в формулу: \(S_4 = 100 \cdot \frac{4^4 — 1}{4 — 1}\).
Сначала вычислим \(4^4\): \(4^4 = 256\). Тогда числитель равен \(256 — 1 = 255\), а знаменатель \(4 — 1 = 3\). Получаем \(S_4 = 100 \cdot \frac{255}{3}\). Делим 255 на 3, что даёт 85, и умножаем на 100: \(100 \cdot 85 = 8500\).
Таким образом, сумма первых четырёх членов прогрессии равна 8500. Ответ: 8500.
2) Во второй задаче даны первый член \(b_1 = 2\sqrt{2}\), седьмой член \(b_7 = 16\sqrt{2}\), и указано, что \(q > 0\). Нужно найти сумму первых четырёх членов \(S_4\).
Сначала определим знаменатель прогрессии \(q\). Для геометрической прогрессии \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), поэтому \(b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6\). Подставим известные значения: \(16\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot q^6\). Разделим обе части на \(2\sqrt{2}\): \(\frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = q^6\), что даёт \(q^6 = 8\).
Чтобы найти \(q\), извлечём корень шестой степени из 8. Заметим, что \(8 = 2^3\), поэтому \(q = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}\). Учитывая условие \(q > 0\), это значение подходит.
Теперь вычислим сумму первых четырёх членов по формуле \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1}\). Подставим \(b_1 = 2\sqrt{2}\), \(q = \sqrt{2}\): \(S_4 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{(\sqrt{2})^4 — 1}{\sqrt{2} — 1}\). Вычислим \((\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4\), значит числитель равен \(4 — 1 = 3\), а знаменатель \(\sqrt{2} — 1\).
Получаем \(S_4 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2} — 1}\). Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{2} + 1\): \(S_4 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 — 1^2} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2} + 3}{2 — 1} = 2\sqrt{2} \cdot (3\sqrt{2} + 3)\).
Раскроем скобки: \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot 3 = 6 \cdot 2 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}\). Таким образом, сумма первых четырёх членов равна \(12 + 6\sqrt{2}\). Ответ: \(12 + 6\sqrt{2}\).
3) В третьей задаче даны второй член \(b_2 = 12\) и шестой член \(b_6 = 324\). Нужно найти сумму первых четырёх членов \(S_4\).
Сначала найдём знаменатель прогрессии \(q\). Известно, что \(b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q\), а \(b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5\). Разделим \(b_6\) на \(b_2\): \(\frac{b_6}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q} = q^{5-1} = q^4\). Подставим значения: \(\frac{324}{12} = q^4\), откуда \(q^4 = 27\).
Извлечём корень четвёртой степени: \(q = 27^{1/4} = (3^3)^{1/4} = 3^{3/4}\), но проще заметить, что \(q^4 = 27\), а \(q^3 = 27\) при \(q = 3\), так как \(3^3 = 27\), а \(3^4 = 81\), что не равно 27. Проверим: \(q^4 = 27\), но \(3^4 = 81\), значит ошибка в примере. Согласно тексту, \(b_6 = b_2 \cdot q^{4} = 12 \cdot q^4 = 324\), откуда \(q^4 = 27\), но в решении указано \(q^3 = 27\), \(q = 3\), что соответствует \(b_5 = 324\), а не \(b_6\). Примем \(q = 3\) по тексту примера.
Тогда \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{12}{3} = 4\). Теперь найдём сумму \(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 4 \cdot \frac{3^4 — 1}{3 — 1} = 4 \cdot \frac{81 — 1}{2} = 4 \cdot \frac{80}{2} = 4 \cdot 40 = 160\).
Таким образом, сумма первых четырёх членов равна 160. Ответ: 160.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.