Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 235 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен \(\frac{1}{100}\), а сумма пяти первых членов равна \(\frac{40}{9}\).
Первый член геометрической прогрессии равен \( \frac{4000}{2187} \).
Краткое объяснение: дана геометрическая прогрессия с знаменателем \( q = \frac{1}{100} \) и суммой пяти первых членов \( S_5 = \frac{40}{9} \). Формула суммы: \( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} \). Подставляем значения: \( b_1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{100}\right)^5 — 1}{\frac{1}{100} — 1} = \frac{40}{9} \). Упрощаем выражение внутри дроби: \( \left(\frac{1}{100}\right)^5 = \frac{1}{10000000000} \), что пренебрежимо мало, поэтому \( q^5 — 1 \approx -1 \), а \( q — 1 = \frac{1}{100} — 1 = -\frac{99}{100} \). Тогда \( S_5 \approx b_1 \cdot \frac{-1}{-\frac{99}{100}} = b_1 \cdot \frac{100}{99} \). Решаем уравнение: \( b_1 \cdot \frac{100}{99} = \frac{40}{9} \), откуда \( b_1 = \frac{40}{9} \cdot \frac{99}{100} = \frac{4000}{2187} \).
1. Нам дана геометрическая прогрессия с знаменателем \( q = \frac{1}{3} \) и суммой пяти первых членов \( S_5 = -\frac{40}{9} \). Необходимо найти первый член прогрессии \( b_1 \). Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии имеет вид \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Для нашего случая \( n = 5 \), поэтому \( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} \).
2. Подставим известные значения в формулу: \( q = \frac{1}{3} \) и \( S_5 = -\frac{40}{9} \). Получаем уравнение \( -\frac{40}{9} = b_1 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^5 — 1}{\frac{1}{3} — 1} \). Вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \), поэтому числитель дроби равен \( \frac{1}{243} — 1 = \frac{1 — 243}{243} = -\frac{242}{243} \). Знаменатель дроби: \( \frac{1}{3} — 1 = \frac{1 — 3}{3} = -\frac{2}{3} \).
3. Теперь подставим эти значения в уравнение: \( -\frac{40}{9} = b_1 \cdot \frac{-\frac{242}{243}}{-\frac{2}{3}} \). Упростим дробь: \( \frac{-\frac{242}{243}}{-\frac{2}{3}} = \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{242}{162} = \frac{121}{81} \). Таким образом, уравнение принимает вид \( -\frac{40}{9} = b_1 \cdot \frac{121}{81} \).
4. Решаем уравнение относительно \( b_1 \): \( b_1 = -\frac{40}{9} \cdot \frac{81}{121} \). Выполним умножение дробей: \( b_1 = -\frac{40 \cdot 81}{9 \cdot 121} = -\frac{3240}{1089} \). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: \( -\frac{3240 \div 9}{1089 \div 9} = -\frac{360}{121} \).
5. Ответ: первый член геометрической прогрессии равен \( -\frac{360}{121} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.