ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 237 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Дано: \( b_2 + b_3 = 30 \) и \( b_4 — b_2 = 90 \). Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии \( S_5 \).

Члены прогрессии: \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \).

Из первого условия: \( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 30 \), то есть \( b_1 \cdot (q + q^2) = 30 \).

Из второго условия: \( b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 90 \), то есть \( b_1 \cdot (q^3 — q) = 90 \).

Выразим \( b_1 \) из первого уравнения: \( b_1 = \frac{30}{q + q^2} \).

Подставим во второе: \( \frac{30}{q + q^2} \cdot (q^3 — q) = 90 \). Умножим на \( q + q^2 \): \( 30 \cdot (q^3 — q) = 90 \cdot (q + q^2) \). Делим на 30: \( q^3 — q = 3q + 3q^2 \). Приведём к виду: \( q^3 — 3q^2 — 4q = 0 \). Делим на \( q \) ( \( q \neq 0 \) ): \( q^2 — 3q — 4 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение: дискриминант \( D = 9 + 16 = 25 \), корни \( q = \frac{3 \pm 5}{2} \), то есть \( q = 4 \) или \( q = -1 \). Так как \( q = -1 \) не подходит (знаменатель не может быть равен 0 в реальных задачах), берём \( q = 4 \).

Теперь \( b_1 = \frac{30}{4 + 4^2} = \frac{30}{4 + 16} = \frac{30}{20} = 1.5 \).

Сумма первых пяти членов: \( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 1.5 \cdot \frac{4^5 — 1}{4 — 1} = 1.5 \cdot \frac{1024 — 1}{3} = 1.5 \cdot 341 = 511.5 \).

Ответ: 511.5

1) Дана геометрическая прогрессия, где сумма второго и третьего членов равна 30, то есть \( b_2 + b_3 = 30 \), а разность четвёртого и второго членов равна 90, то есть \( b_4 — b_2 = 90 \). Нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии \( S_5 \). Для начала запишем формулы членов геометрической прогрессии через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \): \( b_2 = b_1 \cdot q \), \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \), \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \).

2) Используем первое условие \( b_2 + b_3 = 30 \). Подставим выражения для членов: \( b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 30 \). Вынесем \( b_1 \) за скобки: \( b_1 \cdot (q + q^2) = 30 \). Это первое уравнение, из которого позже выразим \( b_1 \).

3) Теперь возьмём второе условие \( b_4 — b_2 = 90 \). Подставим выражения: \( b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 90 \). Вынесем \( b_1 \) за скобки: \( b_1 \cdot (q^3 — q) = 90 \). Это второе уравнение, которое мы будем использовать вместе с первым.

4) Выразим \( b_1 \) из первого уравнения: \( b_1 = \frac{30}{q + q^2} \). Подставим это значение во второе уравнение: \( \frac{30}{q + q^2} \cdot (q^3 — q) = 90 \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части на \( q + q^2 \): \( 30 \cdot (q^3 — q) = 90 \cdot (q + q^2) \). Упростим, разделив обе части на 30: \( q^3 — q = 3 \cdot (q + q^2) \), что равно \( q^3 — q = 3q + 3q^2 \). Приведём все члены в одну сторону: \( q^3 — 3q^2 — q — 3q = 0 \), то есть \( q^3 — 3q^2 — 4q = 0 \). Вынесем \( q \): \( q \cdot (q^2 — 3q — 4) = 0 \). Поскольку \( q \neq 0 \), решаем уравнение \( q^2 — 3q — 4 = 0 \). Находим дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). Корни: \( q = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \), то есть \( q_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) и \( q_2 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \).

5) Знаменатель прогрессии не может быть равен 0 или приводить к некорректным значениям. Проверим \( q = -1 \): подставим в знаменатель первого уравнения \( q + q^2 = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0 \), что недопустимо, так как деление на 0 невозможно. Следовательно, \( q = -1 \) отпадает, и мы берём \( q = 4 \). Теперь найдём \( b_1 \): \( b_1 = \frac{30}{q + q^2} = \frac{30}{4 + 4^2} = \frac{30}{4 + 16} = \frac{30}{20} = 1.5 \).

6) Осталось найти сумму первых пяти членов прогрессии по формуле \( S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} \). Подставим значения: \( q^5 = 4^5 = 1024 \), \( q — 1 = 4 — 1 = 3 \), \( b_1 = 1.5 \). Тогда \( S_5 = 1.5 \cdot \frac{1024 — 1}{3} = 1.5 \cdot \frac{1023}{3} = 1.5 \cdot 341 = 511.5 \).

Ответ: 511.5.