ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 238 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии \((c_n)\), если \(c_4 — c_2 = -24\), \(c_3 + c_2 = 6\), и сумма всех членов \(S_n = -182\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1

1) Формулы данных членов:
\( y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 \cdot q^3 \); \( y_2 = y_1 \cdot q^{2-1} = y_1 \cdot q \); \( y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 \);

2) Из первого уравнения:
\( y_4 — y_2 = -24 \); \( y_1 \cdot q^3 — y_1 \cdot q = -24 \); \( y_1 \cdot (q^3 — q) = -24 \); \( y_1 = \frac{-24}{q^3 — q} \);

3) Из второго уравнения:
\( y_3 + 12 = 6 \); \( y_1 \cdot q^2 + y_1 \cdot q = 6 \); \( y_1 \cdot (q^2 + q) = 6 \); \( y_1 = \frac{6}{q^2 + q} \);

4) Подставим значение \( y_1 \):
\( \frac{6}{q^2 + q} = \frac{-24}{q^3 — q} \); \( 6(q^3 — q) = -24(q^2 + q) \); \( 6q^3 — 6q = -24q^2 — 24q \); \( 6q^3 + 24q^2 + 18q = 0 \); \( q^3 + 4q^2 + 3q = 0 \); \( q(q^2 + 4q + 3) = 0 \); \( q^2 + 4q + 3 = 0 \); \( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда: \( q_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \) и \( q_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \);

5) Знаменатель не может быть равен 0 или \(-1\), значит: \( q = -3 \); \( y_1 = \frac{6}{(-3)^2 + (-3)} = \frac{6}{9 — 3} = \frac{6}{6} = 1 \);

6) Сумма \( n \) первых членов прогрессии:
\( S_n = y_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = -182 \); \( 1 \cdot \frac{(-3)^n — 1}{-3 — 1} = -182 \); \( \frac{(-3)^n — 1}{-4} = -182 \); \( (-3)^n — 1 = 728 \); \( (-3)^n = 729 \); \( n = 6 \);

Ответ: \( y_1 = 1 \); \( q = -3 \); \( n = 6 \).

1) Формулы данных членов:
Рассмотрим геометрическую прогрессию, где каждый член определяется через первый член \( y_1 \) и знаменатель прогрессии \( q \). Формулы для указанных членов прогрессии записываются следующим образом: для четвертого члена \( y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 \cdot q^3 \), для второго члена \( y_2 = y_1 \cdot q^{2-1} = y_1 \cdot q \), а для третьего члена \( y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2 \). Эти выражения позволяют нам выразить члены прогрессии через начальные параметры.

2) Из первого уравнения:
Дано, что разность между четвертым и вторым членами прогрессии равна \(-24\), то есть \( y_4 — y_2 = -24 \). Подставим формулы членов: \( y_1 \cdot q^3 — y_1 \cdot q = -24 \). Вынесем \( y_1 \) за скобки: \( y_1 \cdot (q^3 — q) = -24 \). Отсюда можно выразить первый член прогрессии как \( y_1 = \frac{-24}{q^3 — q} \). Это выражение будет использовано далее для подстановки.

3) Из второго уравнения:
Второе условие гласит, что сумма третьего члена и числа 12 равна 6, то есть \( y_3 + 12 = 6 \), или \( y_3 = 6 — 12 = -6 \). Подставим формулу третьего члена: \( y_1 \cdot q^2 = -6 \). Однако, если учесть ошибку в записи исходного текста, предполагается, что второе уравнение связано с комбинацией членов. Согласно контексту, правильнее интерпретировать как \( y_3 + y_2 = 6 \), то есть \( y_1 \cdot q^2 + y_1 \cdot q = 6 \). Вынесем \( y_1 \): \( y_1 \cdot (q^2 + q) = 6 \), откуда \( y_1 = \frac{6}{q^2 + q} \).

4) Подставим значение \( y_1 \):
Теперь у нас есть два выражения для \( y_1 \): из первого уравнения \( y_1 = \frac{-24}{q^3 — q} \), а из второго \( y_1 = \frac{6}{q^2 + q} \). Приравняем их: \( \frac{6}{q^2 + q} = \frac{-24}{q^3 — q} \). Умножим обе части на произведение знаменателей, чтобы избавиться от дробей: \( 6 \cdot (q^3 — q) = -24 \cdot (q^2 + q) \). Раскроем скобки: \( 6q^3 — 6q = -24q^2 — 24q \). Приведем все члены в одну сторону: \( 6q^3 + 24q^2 + 24q — 6q = 0 \), упростим: \( 6q^3 + 24q^2 + 18q = 0 \). Разделим на 6: \( q^3 + 4q^2 + 3q = 0 \). Вынесем \( q \): \( q \cdot (q^2 + 4q + 3) = 0 \). Решаем квадратное уравнение \( q^2 + 4q + 3 = 0 \). Дискриминант \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), корни: \( q = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \), то есть \( q_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \) и \( q_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \).

5) Знаменатель не может быть равен 0 или \(-1\):
Значение \( q = -1 \) недопустимо, так как в формуле суммы геометрической прогрессии знаменатель \( q — 1 \) не может быть равен нулю. Следовательно, принимаем \( q = -3 \). Теперь подставим это значение в выражение для \( y_1 \): \( y_1 = \frac{6}{q^2 + q} = \frac{6}{(-3)^2 + (-3)} = \frac{6}{9 — 3} = \frac{6}{6} = 1 \). Таким образом, первый член прогрессии равен 1.

6) Сумма \( n \) первых членов прогрессии:
Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = y_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). По условию, сумма равна \(-182\), то есть \( S_n = -182 \). Подставим значения \( y_1 = 1 \) и \( q = -3 \): \( 1 \cdot \frac{(-3)^n — 1}{-3 — 1} = -182 \), что упрощается до \( \frac{(-3)^n — 1}{-4} = -182 \). Умножим обе части на \(-4\): \( (-3)^n — 1 = 728 \), откуда \( (-3)^n = 729 \). Поскольку \( 729 = (-3)^6 \), то \( n = 6 \).

Ответ: \( y_1 = 1 \); \( q = -3 \); \( n = 6 \).