ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 239 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 96, 24, 6, … ;

2) 6, \(2\sqrt{3}\), 2, … .

1) Для прогрессии 96, 24, 6, … первый член \( b_1 = 96 \), а знаменатель \( q = \frac{24}{96} = 0.25 \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставляем значения: \( S = \frac{96}{1 — 0.25} = \frac{96}{0.75} = 128 \). Ответ: 128.

2) Для прогрессии 6, \( 2\sqrt{3} \), 2, … первый член \( b_1 = 6 \), а знаменатель \( q = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Сумма вычисляется как \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{6}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}} = \frac{18}{3 — \sqrt{3}} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 3 + \sqrt{3} \): \( S = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{(3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{9 — 3} = \frac{18(3 + \sqrt{3})}{6} = 9 + 3\sqrt{3} \). Ответ: \( 9 + 3\sqrt{3} \).

1) Рассмотрим первую бесконечную геометрическую прогрессию с членами 96, 24, 6, и так далее. Для нахождения суммы такой прогрессии необходимо определить первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \). Первый член \( b_1 = 96 \), а знаменатель находится как отношение второго члена к первому: \( q = \frac{24}{96} = 0.25 \). Поскольку \( |q| = 0.25 < 1 \), прогрессия сходится, и мы можем применить формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \( S = \frac{b_1}{1 — q} \).

Теперь подставим значения в формулу: \( S = \frac{96}{1 — 0.25} = \frac{96}{0.75} \). Чтобы упростить выражение, можно представить \( 0.75 \) как \( \frac{3}{4} \), тогда \( S = \frac{96}{\frac{3}{4}} = 96 \cdot \frac{4}{3} = 128 \). Таким образом, сумма прогрессии равна 128. Ответ: 128.

2) Перейдем ко второй бесконечной геометрической прогрессии с членами 6, \( 2\sqrt{3} \), 2, и так далее. Определим первый член и знаменатель. Первый член \( b_1 = 6 \), а знаменатель \( q = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Проверяем условие сходимости: \( |q| = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < 1 \), значит, прогрессия сходится, и мы можем использовать формулу суммы \( S = \frac{b_1}{1 — q} \).

Вычислим сумму: \( S = \frac{6}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}} \). Приведем знаменатель к общему виду: \( 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 — \sqrt{3}}{3} \). Тогда \( S = \frac{6}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{3 — \sqrt{3}} = \frac{18}{3 — \sqrt{3}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 3 + \sqrt{3} \): \( S = \frac{18 (3 + \sqrt{3})}{(3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} \).

Вычислим знаменатель: \( (3 — \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 3^2 — (\sqrt{3})^2 = 9 — 3 = 6 \). Числитель: \( 18 (3 + \sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3} \). Тогда \( S = \frac{54 + 18\sqrt{3}}{6} = \frac{54}{6} + \frac{18\sqrt{3}}{6} = 9 + 3\sqrt{3} \). Таким образом, сумма прогрессии равна \( 9 + 3\sqrt{3} \). Ответ: \( 9 + 3\sqrt{3} \).