ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 240 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,444…;

2) 2,(36);

3) 0,8333… ;

4) 3,7(2).

1) Для числа 0,444… имеем бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 = 0,4 \) и знаменателем \( q = 0,1 \). Сумма ряда \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,4}{1 — 0,1} = \frac{0,4}{0,9} = \frac{4}{9} \). Ответ: \( \frac{4}{9} \).

2) Для числа 2,(36) выделяем целую часть 2 и дробную часть 0,(36). Дробная часть — прогрессия с \( b_1 = 0,36 \), \( q = 0,01 \). Сумма дробной части \( S = \frac{0,36}{1 — 0,01} = \frac{0,36}{0,99} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} \). Итог: \( 2 + \frac{4}{11} = \frac{22}{11} + \frac{4}{11} = \frac{26}{11} = 2 \frac{4}{11} \). Ответ: \( \frac{26}{11} \).

3) Для числа 0,8333… выделяем 0,8 и прогрессию 0,0333… с \( b_1 = 0,03 \), \( q = 0,1 \). Сумма прогрессии \( S = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). Итог: \( 0,8 + \frac{1}{30} = \frac{24}{30} + \frac{1}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \). Ответ: \( \frac{5}{6} \).

4) Для числа 3,7(2) выделяем 3,7 и прогрессию 0,0(2) с \( b_1 = 0,02 \), \( q = 0,1 \). Сумма прогрессии \( S = \frac{0,02}{1 — 0,1} = \frac{0,02}{0,9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \). Итог: \( 3,7 + \frac{1}{45} = \frac{37}{10} + \frac{1}{45} = \frac{333}{90} + \frac{2}{90} = \frac{335}{90} = \frac{67}{18} = 3 \frac{13}{18} \). Ответ: \( \frac{67}{18} \).

1) Рассмотрим число 0,444…, которое является периодической десятичной дробью. Чтобы записать его в виде обыкновенной дроби, представим это число как сумму бесконечной геометрической прогрессии. Число можно разложить на слагаемые: \( 0,444… = 0,4 + 0,04 + 0,004 + … \). Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,4 \), а знаменатель (отношение между последовательными членами) \( q = \frac{0,04}{0,4} = 0,1 \).

Для суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула \( S = \frac{b_1}{1 — q} \). Подставим значения: \( S = \frac{0,4}{1 — 0,1} = \frac{0,4}{0,9} \). Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10: \( \frac{0,4}{0,9} = \frac{4}{9} \). Таким образом, \( 0,444… = \frac{4}{9} \). Ответ: \( \frac{4}{9} \).

2) Рассмотрим число 2,(36), которое имеет целую часть 2 и периодическую дробную часть 0,(36). Сначала выделим целую часть и разберем дробную часть как сумму бесконечной геометрической прогрессии: \( 0,3636… = 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + … \). Здесь первый член прогрессии \( b_1 = 0,36 \), а знаменатель \( q = \frac{0,0036}{0,36} = 0,01 \).

Сумма прогрессии равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,36}{1 — 0,01} = \frac{0,36}{0,99} \). Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы убрать десятичные знаки: \( \frac{0,36}{0,99} = \frac{36}{99} \). Сократим дробь на 9: \( \frac{36}{99} = \frac{4}{11} \). Теперь прибавим целую часть: \( 2 + \frac{4}{11} = \frac{22}{11} + \frac{4}{11} = \frac{26}{11} \), что равно \( 2 \frac{4}{11} \). Ответ: \( \frac{26}{11} \).

3) Рассмотрим число 0,8333…, которое также является периодической дробью. Разложим его на части: \( 0,8333… = 0,8 + 0,0333… \), где \( 0,0333… = 0,03 + 0,003 + 0,0003 + … \). Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = 0,03 \) и знаменателем \( q = \frac{0,003}{0,03} = 0,1 \).

Сумма прогрессии для дробной части равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} \). Умножим числитель и знаменатель на 100: \( \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). Теперь прибавим начальную часть: \( 0,8 + \frac{1}{30} \). Приведем 0,8 к дроби с общим знаменателем: \( 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{24}{30} \), итого \( \frac{24}{30} + \frac{1}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \). Ответ: \( \frac{5}{6} \).

4) Рассмотрим число 3,7(2), где 3,7 — начальная часть, а 0,0222… — периодическая часть. Разложим число: \( 3,7(2) = 3,7 + 0,0222… \), где \( 0,0222… = 0,02 + 0,002 + 0,0002 + … \). Это геометрическая прогрессия с первым членом \( b_1 = 0,02 \) и знаменателем \( q = \frac{0,002}{0,02} = 0,1 \).

Сумма прогрессии равна \( S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,02}{1 — 0,1} = \frac{0,02}{0,9} \). Умножим числитель и знаменатель на 100: \( \frac{0,02}{0,9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45} \). Теперь прибавим начальную часть 3,7: \( 3,7 = \frac{37}{10} \), а итоговая сумма \( \frac{37}{10} + \frac{1}{45} \). Приведем к общему знаменателю (90): \( \frac{37}{10} = \frac{333}{90} \), \( \frac{1}{45} = \frac{2}{90} \), итого \( \frac{333}{90} + \frac{2}{90} = \frac{335}{90} = \frac{67}{18} \), что равно \( 3 \frac{13}{18} \). Ответ: \( \frac{67}{18} \).