Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 243 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_3 = 18\), \(b_5 = 2\).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(121.5\).
Краткое объяснение: дана геометрическая прогрессия с \(b_3 = 18\) и \(b_5 = 2\). Определяем знаменатель прогрессии \(q\) через свойство \(b_5 = b_3 \cdot q^{2}\), откуда \(q = \pm \sqrt{\frac{2}{18}} = \pm \frac{1}{3}\). Для сходящейся прогрессии выбираем \(q = -\frac{1}{3}\). Первый член прогрессии находится из \(b_3 = b_1 \cdot q^{2}\), то есть \(b_1 = \frac{18}{q^{2}} = 18 \cdot 9 = 162\). Сумма бесконечной прогрессии вычисляется по формуле \(s = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{162}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{162}{\frac{4}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{4} = 121.5\).
1) По свойству геометрической прогрессии находим знаменатель прогрессии \(q\). Из условия задачи известно, что \(b_3 = 18\) и \(b_5 = 2\). Используем формулу геометрической прогрессии \(b_{n} = b_1 \cdot q^{n-1}\), откуда \(b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^{2}\). Подставляем значения: \(2 = 18 \cdot q^{2}\), следовательно, \(q^{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\), а значит \(q = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}\). Также находим промежуточный член прогрессии \(b_4\), используя свойство \(b_4 = \pm \sqrt{b_3 \cdot b_5} = \pm \sqrt{18 \cdot 2} = \pm \sqrt{36} = \pm 6\). Для дальнейших вычислений выберем \(q = -\frac{1}{3}\), так как это значение соответствует сходящейся бесконечной прогрессии, и проверим: \(b_4 = \frac{b_5}{q} = \frac{2}{-\frac{1}{3}} = 2 \cdot (-3) = -6\), что совпадает с вычислением через корень.
2) Находим первый член прогрессии \(b_1\). Используем формулу \(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^{2}\). Подставляем известные значения: \(18 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{2} = b_1 \cdot \frac{1}{9}\). Отсюда \(b_1 = 18 \cdot 9 = 162\). Таким образом, первый член прогрессии равен \(162\).
3) Вычисляем сумму бесконечной геометрической прогрессии. Для сходящейся прогрессии с \(|q| < 1\) сумма находится по формуле \(s = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставляем значения \(b_1 = 162\) и \(q = -\frac{1}{3}\): \(s = \frac{162}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{162}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{4}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{4} = 121.5\). Также проверим сумму для \(q = \frac{1}{3}\): \(s = \frac{162}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{162}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{3}{2} = 243\). Согласно примеру, возможны два ответа в зависимости от выбора \(q\), но для бесконечной сходящейся прогрессии с отрицательным знаменателем сумма равна \(121.5\), а для положительного \(243\).
Ответ: \(121.5\); \(243\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.