Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 244 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 125, а сумма трёх её первых членов равна 124. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии дана как 125, значит, по формуле \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), откуда \( b_1 = 125(1 — q) \). Сумма первых трёх членов равна 124, то есть \( S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124 \). Подставим \( b_1 \): \( 125(1 — q) \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124 \). Упростим: \( 125(q^3 — 1) = 124(q — 1) \), откуда \( 125q^3 — 125 = 124q — 124 \), или \( 125q^3 — 124q — 1 = 0 \). Решив уравнение, находим \( q = 0.2 \). Тогда \( b_1 = 125(1 — 0.2) = 100 \). Ответ: первый член \( b_1 = 100 \), знаменатель \( q = 0.2 \).
1) Для бесконечной геометрической прогрессии дана сумма \( S = 125 \). Формула суммы бесконечной прогрессии имеет вид \( S = \frac{b_1}{1 — q} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — знаменатель. Подставим значение суммы: \( \frac{b_1}{1 — q} = 125 \). Выразим \( b_1 \): \( b_1 = 125(1 — q) \). Также можно записать это как \( b_1 = -125(q — 1) \), что будет полезно для дальнейших вычислений.
2) Сумма первых трёх членов прогрессии дана как \( S_3 = 124 \). Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \( S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} \). Для \( n = 3 \): \( S_3 = b_1 \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124 \). Подставим выражение для \( b_1 \): \( 125(1 — q) \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124 \). Заметим, что \( 1 — q = -(q — 1) \), поэтому выражение упрощается: \( 125 \cdot (-(q — 1)) \cdot \frac{q^3 — 1}{q — 1} = 124 \), то есть \( -125(q^3 — 1) = 124 \). Умножим обе части на \(-1\): \( 125(q^3 — 1) = -124 \), или \( q^3 — 1 = -\frac{124}{125} \), откуда \( q^3 = 1 — \frac{124}{125} = \frac{1}{125} \). Следовательно, \( q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5} = 0.2 \).
3) Теперь найдём \( b_1 \). Используем выражение \( b_1 = 125(1 — q) \). Подставим \( q = 0.2 \): \( b_1 = 125(1 — 0.2) = 125 \cdot 0.8 = 100 \).
4) Ответ: первый член прогрессии \( b_1 = 100 \), знаменатель прогрессии \( q = 0.2 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.