ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 28 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение:

1) \(\sqrt{5x — 3}\);

2) \(\sqrt{1 — 4x}\);

3) \(\frac{5}{\sqrt{2 — 8x}}\);

4) \(\sqrt{x — 3} + \frac{2}{x — 7}\);

5) \(\sqrt{7x — 9} — \frac{3}{x^2 — 16}\);

6) \(\sqrt{4x + 20} — \frac{1}{\sqrt{x^3 — 8}}\).

1) \(5x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{5}\)
Ответ: \(x \in \left[\frac{3}{5}, +\infty\right)\)

2) \(1 — 4x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{4}\)
Ответ: \(x \in \left(-\infty, \frac{1}{4}\right]\)

3) \(2 — 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}\)
Ответ: \(x \in \left(-\infty, \frac{2}{3}\right)\)

4) \(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\) и \(x — 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7\)
Ответ: \(x \in [3, 7) \cup (7, +\infty)\)

5) \(7x — 9 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{9}{7}\) и \(x^2 — 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4\)
Ответ: \(x \in \left[\frac{9}{7}, 4\right) \cup (4, +\infty)\)

6) \(4x + 20 > 0 \Rightarrow x > -5\), \(|x| — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3\)
Ответ: \(x \in (-5, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)\)

1) Чтобы определить область определения функции с выражением \(\sqrt{5x — 3}\), нужно помнить, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не определён. Значит, необходимо решить неравенство \(5x — 3 \geq 0\). При решении этого неравенства сначала переносим число 3 вправо: \(5x \geq 3\). Далее делим обе части неравенства на положительное число 5, при этом знак неравенства сохраняется: \(x \geq \frac{3}{5}\). Таким образом, все значения \(x\), которые больше или равны \(\frac{3}{5}\), подходят для области определения.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений переменной, для которых выражение имеет смысл. В нашем случае это все \(x\), удовлетворяющие условию \(x \geq \frac{3}{5}\). Записываем это в виде интервала: \(x \in \left[\frac{3}{5}; +\infty\right)\). Этот интервал включает точку \(\frac{3}{5}\), так как при подстановке в выражение подкоренное выражение становится нулём, и корень из нуля существует.

Таким образом, если \(x\) меньше \(\frac{3}{5}\), то подкоренное выражение будет отрицательным, и функция не определена. Если же \(x\) равно или больше \(\frac{3}{5}\), функция существует и принимает вещественные значения.

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt{1 — 4x}\). Аналогично первому случаю, чтобы корень был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(1 — 4x \geq 0\). Переносим \(-4x\) вправо: \(-4x \geq -1\). Теперь, деля обе части на отрицательное число \(-4\), меняем знак неравенства: \(x \leq \frac{1}{4}\). Это значит, что все значения \(x\), которые меньше или равны \(\frac{1}{4}\), подходят для области определения.

Область определения функции — это множество значений \(x\), при которых подкоренное выражение неотрицательно. Записываем это в виде интервала: \(x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right]\). Здесь включаем \(\frac{1}{4}\), так как при подстановке в подкоренное выражение получается ноль, и корень из нуля существует.

Если \(x\) будет больше \(\frac{1}{4}\), то подкоренное выражение станет отрицательным, и функция не определена. Таким образом, область определения ограничена сверху числом \(\frac{1}{4}\).

3) Рассмотрим выражение \(\frac{5}{\sqrt{2 — 3x}}\). Здесь присутствует квадратный корень в знаменателе дроби, что требует двух условий: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, чтобы знаменатель не был равен нулю или отрицательным числом. Значит, решаем неравенство: \(2 — 3x > 0\). Переносим \(3x\) вправо: \(2 > 3x\). Делим обе части на положительное число 3, знак неравенства сохраняется: \(\frac{2}{3} > x\) или \(x < \frac{2}{3}\).

Область определения — множество всех \(x\), при которых знаменатель существует и не равен нулю. Записываем в виде интервала: \(x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right)\). Здесь строгое неравенство, потому что при \(x = \frac{2}{3}\) знаменатель будет равен нулю, и выражение не определено.

Если \(x\) будет больше или равно \(\frac{2}{3}\), знаменатель станет либо нулём, либо комплексным числом, что недопустимо для функции на множестве действительных чисел.

4) Рассмотрим выражение \(\sqrt{x — 3} + \frac{2}{x — 7}\). Здесь две части, каждая накладывает свои ограничения. Для первого слагаемого, чтобы корень был определён, нужно: \(x — 3 \geq 0\), то есть \(x \geq 3\). Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю: \(x — 7 \neq 0\), значит \(x \neq 7\).

Область определения — пересечение условий. Из первого условия получаем \(x \in [3; +\infty)\), из второго исключаем точку \(x = 7\). Итог: \(x \in [3; 7) \cup (7; +\infty)\).

Если \(x < 3\), корень не определён. Если \(x = 7\), знаменатель второго слагаемого равен нулю, что недопустимо. Таким образом, область определения — все значения от 3 включительно до бесконечности, за исключением 7.

5) Рассмотрим выражение \(\sqrt{7x — 9} — \frac{3}{x^2 — 16}\). Условие для корня: \(7x — 9 \geq 0\), то есть \(7x \geq 9\), \(x \geq \frac{9}{7}\). Для дроби знаменатель не равен нулю: \(x^2 — 16 \neq 0\), то есть \(x^2 \neq 16\), \(x \neq \pm 4\).

Область определения — пересечение: \(x \geq \frac{9}{7}\) и \(x \neq \pm 4\). Поскольку \(\frac{9}{7} \approx 1.2857\), а \(-4 < \frac{9}{7}\), исключаем только \(x = 4\) из интервала \([\frac{9}{7}; +\infty)\). Итог: \(x \in \left[\frac{9}{7}; 4\right) \cup (4; +\infty)\).

Если \(x < \frac{9}{7}\), корень не определён, если \(x = 4\), знаменатель равен нулю.

6) Рассмотрим выражение \(\frac{3}{\sqrt{4x + 20}} + \frac{1}{|x| — 3}\). Для первого слагаемого подкоренное выражение должно быть строго положительным: \(4x + 20 > 0\), то есть \(4x > -20\), \(x > -5\). Для второго слагаемого знаменатель не равен нулю: \(|x| — 3 \neq 0\), значит \(|x| \neq 3\), \(x \neq \pm 3\).

Область определения — пересечение условий: \(x > -5\) и \(x \neq \pm 3\). Записываем: \(x \in (-5; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)\).

Если \(x \leq -5\), корень не определён, если \(x = \pm 3\), знаменатель второго слагаемого равен нулю, что недопустимо.