ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 33 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x — 4| + x = 3\);

2) \(|4x — 3| — x = -1\);

3) \(|x + 2| — x = 3\);

4) \(|x — 5| + x = 7\).

1) \( |x — 4| + x = 3 \)

Если \(x \geq 4\), то \(x — 4 + x = 3 \Rightarrow 2x — 4 = 3 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5\), но \(3.5 < 4\), не подходит.

Если \(x < 4\), то \(-(x — 4) + x = 3 \Rightarrow -x + 4 + x = 3 \Rightarrow 4 = 3\), нет решений.

Ответ: корней нет.

2) \( |4x — 3| — x = -1 \)

Если \(4x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4}\), то \(4x — 3 — x = -1 \Rightarrow 3x — 3 = -1 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\), но \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\), не подходит.

Если \(x < \frac{3}{4}\), то \(-(4x — 3) — x = -1 \Rightarrow -4x + 3 — x = -1 \Rightarrow \)
\(-5x + 3 = -1 \Rightarrow -5x = -4 \Rightarrow x = \frac{4}{5} = 0.8\), но \(0.8 > 0.75\), не подходит.

Ответ: корней нет.

3) \( |x + 2| — x = 3 \)

Если \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\), то \(x + 2 — x = 3 \Rightarrow 2 = 3\), нет решений.

Если \(x < -2\), то \(-(x + 2) — x = 3 \Rightarrow -x — 2 — x = 3 \Rightarrow -2x — 2 = 3 \Rightarrow -2x = 5 \Rightarrow x =\)
\(= -\frac{5}{2} = -2.5\), подходит.

Ответ: \(x = -\frac{5}{2}\).

4) \( |x — 5| + x = 7 \)

Если \(x \geq 5\), то \(x — 5 + x = 7 \Rightarrow 2x — 5 = 7 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\), подходит.

Если \(x < 5\), то \(-(x — 5) + x = 7 \Rightarrow -x + 5 + x = 7 \Rightarrow 5 = 7\), нет решений.

Ответ: \(x = 6\).

1) \( |x — 4| + x = 3 \)

Число под знаком модуля:
\( x — 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \).

Если \( x \geq 4 \), тогда:
\( (x — 4) + x = 3 \),
\( 2x — 4 = 3 \),
\( 2x = 7 \),
\( x = \frac{7}{2} = 3.5 \).

Так как \( 3.5 < 4 \), это решение не подходит.

Если \( x < 4 \), тогда:
\(-(x — 4) + x = 3 \),
\(-x + 4 + x = 3 \),
\( 4 = 3 \) — противоречие.

Корней нет: \( x \in \emptyset \).

2) \( |4x — 3| — x = -1 \)

Число под знаком модуля:
\( 4x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4} \).

Если \( x \geq \frac{3}{4} \), тогда:
\( (4x — 3) — x = -1 \),
\( 3x — 3 = -1 \),
\( 3x = 2 \),
\( x = \frac{2}{3} \).

Так как \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \), это решение не подходит.

Если \( x < \frac{3}{4} \), тогда:
\(-(4x — 3) — x = -1 \),
\(-4x + 3 — x = -1 \),
\(-5x + 3 = -1 \),
\(-5x = -4 \),
\( x = \frac{4}{5} = 0.8 \).

Так как \( 0.8 > 0.75 \), это решение не подходит.

Корней нет: \( x \in \emptyset \).

3) \( |x + 2| — x = 3 \)

Число под знаком модуля:
\( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \).

Если \( x \geq -2 \), тогда:
\( (x + 2) — x = 3 \),
\( 2 = 3 \) — противоречие.

Если \( x < -2 \), тогда:
\(-(x + 2) — x = 3 \),
\(-x — 2 — x = 3 \),
\(-2x — 2 = 3 \),
\(-2x = 5 \),
\( x = -\frac{5}{2} = -2.5 \).

Ответ: \( x = -\frac{5}{2} \).

4) \( |x — 5| + x = 7 \)

Число под знаком модуля:
\( x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \).

Если \( x \geq 5 \), тогда:
\( (x — 5) + x = 7 \),
\( 2x — 5 = 7 \),
\( 2x = 12 \),
\( x = 6 \).

Если \( x < 5 \), тогда:
\(-(x — 5) + x = 7 \),
\(-x + 5 + x = 7 \),
\( 5 = 7 \) — противоречие.

Ответ: \( x = 6 \).