ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 36 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет единственный отрицательный корень уравнение:

1) \((b + 4)x = b^2 — 16\);

2) \((3b^2 — 8b)x = b^2\)?

1) Уравнение: \((b + 4)x = b^2 — 16\).
Перепишем: \((b + 4)x = (b+4)(b-4)\).
Единственный корень при \(b \neq -4\):
\(x = \frac{(b+4)(b-4)}{b+4} = b-4\).
Корень отрицателен, если \(b-4 < 0\), то есть \(b < 4\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4)\).

2) Уравнение: \((3b^2 — 8b)x = b^2\).
Единственный корень при \(3b^2 — 8b \neq 0\), то есть \(b \neq 0\) и \(b \neq \frac{8}{3}\).
Корень:
\(x = \frac{b^2}{3b^2 — 8b} = \frac{b}{3b — 8}\).
Корень отрицателен при \(\frac{b}{3b — 8} < 0\).
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
— \(b > 0\) и \(3b — 8 < 0 \Rightarrow b \in (0; \frac{8}{3})\),
— \(b < 0\) и \(3b — 8 > 0\) невозможно, так как при \(b < 0\), \(3b — 8 < 0\).
Ответ: \(b \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{8}{3})\).

1) Уравнение: \((b + 4)x = b^{2} — 16\).

Перепишем правую часть в виде произведения:
\((b + 4)x = (b + 4)(b — 4)\).

Для того чтобы корень был единственным, необходимо, чтобы \(b + 4 \neq 0\), то есть
\(b \neq -4\).

Тогда выразим корень:
\(x = \frac{(b + 4)(b — 4)}{b + 4} = b — 4\).

Корень должен быть отрицательным:
\(b — 4 < 0\), откуда
\(b < 4\).

Ответ для первого уравнения:
\(b \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4)\).

2) Уравнение: \((3b^{2} — 8b)x = b\).

Для единственности корня необходимо, чтобы коэффициент при \(x\) не был равен нулю:
\(3b^{2} — 8b \neq 0\),
что эквивалентно
\(b(3b — 8) \neq 0\),
то есть
\(b \neq 0\) и \(b \neq \frac{8}{3}\).

Тогда корень равен:
\(x = \frac{b}{3b^{2} — 8b} = \frac{b}{b(3b — 8)} = \frac{1}{3b — 8}\).

Корень отрицателен, если
\(\frac{1}{3b — 8} < 0\),
то есть
\(3b — 8 < 0\),
откуда
\(3b < 8\),
следовательно
\(b < \frac{8}{3}\).

Учитывая ограничения на \(b\), получаем:
\(b \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{8}{3})\).

Ответ для второго уравнения:
\(b \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{8}{3})\).