ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 37 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение:

1) \(x^2 — 8x — 3a = 0\);

2) \((a + 2)x^2 — 2(a — 4)x + a + 1 = 0\);

3) \((a + 1)x^2 — (2a + 5)x + a + 3 = 0\);

4) \(x^2 — 2ax + 2a^2 — 2a + 1 = 0\)?

1) Уравнение не имеет корней при \(a < -\frac{64}{12} = -\frac{16}{3}\).

2) Уравнение не имеет корней при \(a > \frac{56}{44} = \frac{14}{11}\), исключая \(a = -2\) (тогда уравнение линейное).

Ответ: \(a \in \left(\frac{14}{11}; +\infty \right) \setminus \{-2\}\).

3) Уравнение не имеет корней при \(a < -\frac{13}{4} = -3.25\), исключая \(a = -1\) (линейное уравнение).

Ответ: \(a \in (-\infty; -3.25) \setminus \{-1\}\).

4) Уравнение не имеет корней при \(a \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\), при \(a=1\) уравнение имеет корень.

1) Уравнение \(x^2 — 8x — 3a = 0\).
Дискриминант \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3a) = 64 + 12a\).
Уравнение не имеет корней при \(D < 0\), значит:
\(64 + 12a < 0\),
\(12a < -64\),
\(a < -\frac{64}{12}\),
\(a < -\frac{16}{3}\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{16}{3})\).

2) Уравнение \((a + 2)x^2 — 2(a — 4)x + (a + 1) = 0\).
Дискриминант \(D = [-2(a-4)]^2 — 4(a+2)(a+1)\),
\(D = 4(a-4)^2 — 4(a+2)(a+1)\),
\(D = 4(a^2 — 8a + 16) — 4(a^2 + 3a + 2)\),
\(D = 4a^2 — 32a + 64 — 4a^2 — 12a — 8 = 56 — 44a\).
Уравнение не имеет корней при \(D < 0\), значит:
\(56 — 44a < 0\),
\(-44a < -56\),
\(a > \frac{56}{44} = \frac{14}{11}\).
Уравнение становится линейным, если \(a + 2 = 0\), то есть \(a = -2\).
Ответ: \(a \in \left(\frac{14}{11}; +\infty\right)\).

3) Уравнение \((a + 1)x^2 — (2a + 5)x + (a + 3) = 0\).
Дискриминант \(D = (2a + 5)^2 — 4(a + 1)(a + 3)\),
\(D = 4a^2 + 20a + 25 — 4(a^2 + 4a + 3)\),
\(D = 4a^2 + 20a + 25 — 4a^2 — 16a — 12 = 4a + 13\).
Уравнение не имеет корней при \(D < 0\), значит:
\(4a + 13 < 0\),
\(4a < -13\),
\(a < -\frac{13}{4} = -3.25\).
Уравнение линейное при \(a + 1 = 0\), то есть \(a = -1\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -3.25)\).

4) Уравнение \(x^2 — 2ax + 2a^2 — 2a + 1 = 0\).
Дискриминант \(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 — 2a + 1)\),
\(D = 4a^2 — 8a^2 + 8a — 4 = -4a^2 + 8a — 4\).
Уравнение не имеет корней при \(D < 0\), значит:
\(-4a^2 + 8a — 4 < 0\).
Разделим на \(-4\) (знак неравенства изменится):
\(a^2 — 2a + 1 > 0\).
Выражение равно \((a — 1)^2 > 0\),
что верно при \(a \neq 1\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).