ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 38 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:

1) \((a — 1)x > 0\);

2) \((a — 1)x < 2\);

3) \((a — 1)x \geq a — 1\);

4) \((a — 1)^2 x \leq 0\);

5) \(a — 2x < 1 + ax\);

6) \(2(a — 2x) < 8 — ax\);

7) \((a — 4)x > a^2 — 16\);

8) \((a + 4)x \leq a^2 — 16\).

1) \((a-1)x > 0\)
Если \(a > 1\), то \(x > 0\);
Если \(a < 1\), то \(x < 0\);
Если \(a = 1\), то \(x \in \emptyset\).

2) \((a-1)x < 2\)
Если \(a > 1\), то \(x < \frac{2}{a-1}\);
Если \(a < 1\), то \(x > \frac{2}{a-1}\);
Если \(a = 1\), то \(x \in \mathbb{R}\).

3) \((a-1)x \geq a-1\)
Если \(a > 1\), то \(x \geq 1\);
Если \(a < 1\), то \(x \leq 1\);
Если \(a = 1\), то \(x \in \mathbb{R}\).

4) \((a-1)^2 x \leq 0\)
Если \(a \neq 1\), то \(x \leq 0\);
Если \(a = 1\), то \(x \in \mathbb{R}\).

5) \(a — 2x < 1 + ax\)
Приводим к виду \((a+2)x > a-1\).
Если \(a > -2\), то \(x > \frac{a-1}{a+2}\);
Если \(a < -2\), то \(x < \frac{a-1}{a+2}\);
Если \(a = -2\), то \(x \in \mathbb{R}\).

6) \(2(a — 2x) < 8 — ax\)
Приводим к \((a-4)x < -2(a-4)\).
Если \(a > 4\), то \(x < -2\);
Если \(a < 4\), то \(x > -2\);
Если \(a = 4\), то \(x \in \emptyset\).

7) \((a-4)x > a^2 — 16\)
Приводим к \(x > a + 4\) при \(a > 4\),
\(x < a + 4\) при \(a < 4\),
и \(x \in \emptyset\) при \(a = 4\).

8) \((a+4)x \leq a^2 — 16\)
Приводим к \(x \leq a — 4\) при \(a > -4\),
\(x \geq a — 4\) при \(a < -4\),
и \(x \in \mathbb{R}\) при \(a = -4\).

1) Решим неравенство \((a-1)x > 0\).
Выражение с параметром: \(a — 1 > 0\), значит \(a > 1\).
Если \(a > 1\), то при делении неравенства на положительное число \(a-1\) знак неравенства сохраняется:
\(x > \frac{0}{a-1} = 0\).
Если \(a < 1\), то \(a-1 < 0\), при делении знак неравенства меняется:
\(x < \frac{0}{a-1} = 0\).
Если \(a = 1\), то неравенство превращается в \(0 \cdot x > 0\), что невозможно, поэтому множество решений пусто:
\(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x > 0\), если \(a > 1\); \(x < 0\), если \(a < 1\); \(x \in \emptyset\), если \(a = 1\).

2) Рассмотрим неравенство \((a-1)x < 2\).
Выражение с параметром: \(a — 1 > 0\), значит \(a > 1\).
Если \(a > 1\), делим на положительное число \(a-1\), знак неравенства сохраняется:
\(x < \frac{2}{a-1}\).
Если \(a < 1\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x > \frac{2}{a-1}\).
Если \(a = 1\), неравенство превращается в \(0 \cdot x < 2\), что верно для всех \(x\), значит:
\(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x < \frac{2}{a-1}\), если \(a > 1\); \(x > \frac{2}{a-1}\), если \(a < 1\); \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a = 1\).

3) Решим \((a-1)x \geq a-1\).
Выражение с параметром: \(a — 1 > 0\), значит \(a > 1\).
Если \(a > 1\), делим на положительное число \(a-1\), знак неравенства сохраняется:
\(x \geq \frac{a-1}{a-1} = 1\).
Если \(a < 1\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x \leq 1\).
Если \(a = 1\), неравенство превращается в \(0 \cdot x \geq 0\), что верно для всех \(x\), значит:
\(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \geq 1\), если \(a > 1\); \(x \leq 1\), если \(a < 1\); \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a = 1\).

4) Решим \((a-1)^2 x \leq 0\).
Выражение с параметром: \((a-1)^2 \geq 0\) для всех \(a\), причем \((a-1)^2 = 0\) только если \(a=1\).
Если \(a \neq 1\), то \((a-1)^2 > 0\), делим неравенство на положительное число без изменения знака:
\(x \leq 0\).
Если \(a = 1\), неравенство превращается в \(0 \cdot x \leq 0\), что верно для всех \(x\), значит:
\(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \leq 0\), если \(a \neq 1\); \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a = 1\).

5) Решим неравенство \(a — 2x < 1 + ax\).
Переносим все с \(x\) влево, числа вправо:
\(a — 1 < ax + 2x\),
\(a — 1 < x(a + 2)\).
Выражение с параметром: \(a + 2 > 0\), значит \(a > -2\).
Если \(a > -2\), делим на положительное число \(a + 2\), знак неравенства сохраняется:
\(x > \frac{a-1}{a+2}\).
Если \(a < -2\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x < \frac{a-1}{a+2}\).
Если \(a = -2\), неравенство превращается в \(0 \cdot x > -3\), что верно для всех \(x\), значит:
\(x \in (-\infty; +\infty)\).
Ответ: \(x > \frac{a-1}{a+2}\), если \(a > -2\); \(x < \frac{a-1}{a+2}\), если \(a < -2\); \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a = -2\).

6) Решим \(2(a — 2x) < 8 — ax\).
Раскрываем скобки:
\(2a — 4x < 8 — ax\).
Переносим все с \(x\) влево, числа вправо:
\(ax — 4x < 8 — 2a\),
\((a — 4)x < 8 — 2a\).
Перепишем правую часть:
\(8 — 2a = -2(a — 4)\).
Получаем:
\((a — 4)x < -2(a — 4)\).
Выражение с параметром: \(a — 4 > 0\), значит \(a > 4\).
Если \(a > 4\), делим на положительное число \(a-4\), знак неравенства сохраняется:
\(x < -2\).
Если \(a < 4\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x > -2\).
Если \(a = 4\), неравенство превращается в \(0 \cdot x < 0\), что невозможно, значит:
\(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x < -2\), если \(a > 4\); \(x > -2\), если \(a < 4\); \(x \in \emptyset\), если \(a = 4\).

7) Решим \((a-4)x > a^2 — 16\).
Раскроем правую часть:
\(a^2 — 16 = (a-4)(a+4)\).
Выражение с параметром: \(a — 4 > 0\), значит \(a > 4\).
Если \(a > 4\), делим на положительное число \(a-4\), знак неравенства сохраняется:
\(x > a + 4\).
Если \(a < 4\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x < a + 4\).
Если \(a = 4\), неравенство превращается в \(0 \cdot x > 0\), что невозможно, значит:
\(x \in \emptyset\).
Ответ: \(x > a + 4\), если \(a > 4\); \(x < a + 4\), если \(a < 4\); \(x \in \emptyset\), если \(a = 4\).

8) Решим \((a+4)x \leq a^2 — 16\).
Раскроем правую часть:
\(a^2 — 16 = (a-4)(a+4)\).
Выражение с параметром: \(a + 4 > 0\), значит \(a > -4\).
Если \(a > -4\), делим на положительное число \(a+4\), знак неравенства сохраняется:
\(x \leq a — 4\).
Если \(a < -4\), делим на отрицательное число, знак меняется:
\(x \geq a — 4\).
Если \(a = -4\), неравенство превращается в \(0 \cdot x \leq 0\), что верно для всех \(x\), значит:
\(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \leq a — 4\), если \(a > -4\); \(x \geq a — 4\), если \(a < -4\); \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a = -4\).