Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
1) \(a^2 — 10a + 26 > 0\);
2) \(6y — 9y^2 — 2 < 0\);
3) \(a(a - 2) > 6(a — 3)\);
4) \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 \geq 0\);
5) \(x^2 — 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0\);
6) \(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 3}} \geq 2\).
1) \(a^2 — 10a + 26 = (a — 5)^2 + 1 > 0\).
2) \(6y — 9y^2 — 2 = -(3y — 1)^2 — 1 < 0\). 3) \(a(a - 2) > 6(a — 3) \Rightarrow a^2 — 2a — 6a + 18 = (a — 4)^2 + 2 > 0\).
4) \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 = (x — 2)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\).
5) \(x^2 — 4xy + 5y^2 + 2y + 2 = (x — 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0\).
6) \(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} = \sqrt{a^2 + 2} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 2}} \geq 2\) по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим.
1) Доказать неравенство \(a^2 — 10a + 26 > 0\).
Преобразуем левую часть:
\(a^2 — 10a + 26 = (a^2 — 10a + 25) + 1 = (a — 5)^2 + 1 > 0\),
так как \((a — 5)^2 \geq 0\) и \(1 > 0\).
Что и требовалось доказать.
2) Доказать неравенство \(6y — 9y^2 — 2 < 0\).
Преобразуем левую часть:
\(6y - 9y^2 - 2 = -(9y^2 - 6y + 1) - 1 = -(3y - 1)^2 - 1 < 0\),
так как \((3y - 1)^2 \geq 0\) и \(-1 < 0\).
Что и требовалось доказать. 3) Доказать неравенство \(a(a - 2) > 6(a — 3)\).
Найдём разность чисел:
\(a(a — 2) — 6(a — 3) = (a^2 — 2a) — (6a — 18) = a^2 — 8a + 18 =\)
\(= (a^2 — 8a + 16) + 2 = (a — 4)^2 + 2 > 0\),
так как \((a — 4)^2 \geq 0\) и \(2 > 0\).
Что и требовалось доказать.
4) Доказать неравенство \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 \geq 0\).
Преобразуем левую часть:
\(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 = (x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) =\)
\(= (x — 2)^2 + (y + 1)^2 \geq 0\),
так как квадраты неотрицательны.
Что и требовалось доказать.
5) Доказать неравенство \(x^2 — 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0\).
Преобразуем левую часть:
\(x^2 — 4xy + 5y^2 + 2y + 2 = (x^2 — 4xy + 4y^2) + (y^2 + 2y + 1) + 1=\)
\( = (x — 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1 > 0\),
так как квадраты неотрицательны и \(1 > 0\).
Что и требовалось доказать.
6) Доказать неравенство \(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} \geq 2\).
Преобразуем левую часть:
\(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} = \frac{(a^2 + 2) + 1}{\sqrt{a^2 + 2}}=\)
\(= \sqrt{a^2 + 2} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 2}}\),
обозначим \(b = \sqrt{a^2 + 2}\), тогда:
\(b + \frac{1}{b} \geq 2\),
что следует из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, так как \(b > 0\).
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.