ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 45 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) \(\begin{cases} -3x > 9, \\ 4x < 1; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 7x - 3 \geq 2(x - 6), \\ x + 5 \geq 3x - 11; \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} 0,2(x - 4) \leq 0,3x + 2, \\ 3(x + 1) > x + 5; \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} (x + 1)(x + 2) — (x — 1)(x + 1) < 4, \\ (x + 6)(x - 2) > x(x + 2) — 13; \end{cases}\)
5) \(\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} \leq \frac{x + 1}{2} + 1, \\ \frac{x — 4}{2} > \frac{2 — x}{3} — 1; \end{cases}\)
6) \(\begin{cases} (3x + 1)^2 — 4x \geq (3x — 1)(3x + 1) + 6, \\ \frac{3x — 1}{2} — \frac{x}{4} \leq 4 — x. \end{cases}\)

1)
\(\begin{cases} -3x > 9 \\ 4x < 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -3 \\ x < \frac{1}{4} \end{cases}\) Ответ: \(x < -3\). 2) \(\begin{cases} 7x - 3 \geq 2(x - 6) \\ x + 5 \geq 3x - 11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -\frac{9}{5} \\ x \leq 8 \end{cases}\) Ответ: \(-\frac{9}{5} \leq x \leq 8\). 3) \(\begin{cases} 0,2(x - 4) \leq 0,3x + 2 \\ 3(x + 1) > x + 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -28 \\ x > 1 \end{cases}\)
Ответ: \(x > 1\).

4)
\(\begin{cases} (x + 1)(x + 2) — (x — 1)(x + 1) < 4 \\ (x + 6)(x - 2) > x(x + 2) — 13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases}\)
Ответ: \(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\). 5) \(\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} \leq \frac{x + 1}{2} + 1 \\ \frac{x - 4}{2} > \frac{2 — x}{3} — 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x > 2 \end{cases}\)
Ответ: \(x \in \emptyset\).

6)
\(\begin{cases} (3x + 1)^2 — 4x \geq (3x — 1)(3x + 1) + 6 \\ \frac{3x — 1}{2} — \frac{x}{4} \leq 4 — x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 2 \end{cases}\)
Ответ: \(x = 2\).

1)
Первое неравенство:
\(-3x > 9\)
Делим обе части на \(-3\), меняя знак неравенства:
\(x < \frac{9}{-3}\) \(x < -3\) Второе неравенство: \(4x < 1\) Делим обе части на 4: \(x < \frac{1}{4}\) Ответ: \(x < -3\), так как это более строгая граница. 2) Первое неравенство: \(7x - 3 \geq 2(x - 6)\) Раскрываем скобки: \(7x - 3 \geq 2x - 12\) Переносим все влево: \(7x - 2x \geq -12 + 3\) \(5x \geq -9\) Делим на 5: \(x \geq -\frac{9}{5}\) \(x \geq -1,8\) Второе неравенство: \(x + 5 \geq 3x - 11\) Переносим все влево: \(x - 3x \geq -11 - 5\) \(-2x \geq -16\) Делим на \(-2\), меняя знак: \(x \leq 8\) Ответ: \(-1,8 \leq x \leq 8\). 3) Первое неравенство: \(0,2(x - 4) \leq 0,3x + 2\) Раскрываем скобки: \(0,2x - 0,8 \leq 0,3x + 2\) Переносим \(0,3x\) влево, а \(-0,8\) вправо: \(0,2x - 0,3x \leq 2 + 0,8\) \(-0,1x \leq 2,8\) Делим на \(-0,1\), меняя знак: \(x \geq \frac{2,8}{-0,1}\) \(x \geq -28\) Второе неравенство: \(3(x + 1) > x + 5\)
Раскрываем скобки:
\(3x + 3 > x + 5\)
Переносим \(x\) влево, 3 вправо:
\(3x — x > 5 — 3\)
\(2x > 2\)
Делим на 2:
\(x > 1\)

Ответ: \(x > 1\).

4)
Первое неравенство:
\((x + 1)(x + 2) — (x — 1)(x + 1) < 4\) Раскрываем скобки: \(x^2 + 2x + x + 2 - (x^2 - 1) < 4\) Складываем и упрощаем: \(x^2 + 3x + 2 - x^2 + 1 < 4\) \(3x + 3 < 4\) \(3x < 1\) \(x < \frac{1}{3}\) Второе неравенство: \((x + 6)(x - 2) > x(x + 2) — 13\)
Раскрываем скобки:
\(x^2 — 2x + 6x — 12 > x^2 + 2x — 13\)
Упрощаем:
\(x^2 + 4x — 12 > x^2 + 2x — 13\)
Переносим \(x^2\) влево:
\(4x — 12 > 2x — 13\)
Переносим \(2x\) влево, \(-12\) вправо:
\(4x — 2x > -13 + 12\)
\(2x > -1\)
\(x > -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\). 5) Первое неравенство: \(\frac{3x + 5}{4} \leq \frac{x + 1}{2} + 1\) Домножаем обе части на 4: \(3x + 5 \leq 2(x + 1) + 4\) Раскрываем скобки: \(3x + 5 \leq 2x + 2 + 4\) Упрощаем: \(3x + 5 \leq 2x + 6\) Переносим \(2x\) влево, 5 вправо: \(3x - 2x \leq 6 - 5\) \(x \leq 1\) Второе неравенство: \(\frac{x - 4}{2} > \frac{2 — x}{3} — 1\)
Домножаем обе части на 6:
\(3(x — 4) > 2(2 — x) — 6\)
Раскрываем скобки:
\(3x — 12 > 4 — 2x — 6\)
Упрощаем:
\(3x — 12 > -2x — 2\)
Переносим \(-2x\) влево, \(-12\) вправо:
\(3x + 2x > -2 + 12\)
\(5x > 10\)
\(x > 2\)

Ответ: \(x \in \emptyset\), так как \(x \leq 1\) и \(x > 2\) не пересекаются.

6)
Первое неравенство:
\((3x + 1)^2 — 4x \geq (3x — 1)(3x + 1) + 6\)
Раскрываем скобки:
\(9x^2 + 6x + 1 — 4x \geq 9x^2 — 1 + 6\)
Упрощаем:
\(9x^2 + 2x + 1 \geq 9x^2 + 5\)
Переносим \(9x^2\) влево:
\(2x + 1 \geq 5\)
\(2x \geq 4\)
\(x \geq 2\)

Второе неравенство:
\(\frac{3x — 1}{2} — \frac{x}{4} \leq 4 — x\)
Домножаем обе части на 4:
\(2(3x — 1) — x \leq 4(4 — x)\)
Раскрываем скобки:
\(6x — 2 — x \leq 16 — 4x\)
Упрощаем:
\(5x — 2 \leq 16 — 4x\)
Переносим \(-4x\) влево, \(-2\) вправо:
\(5x + 4x \leq 16 + 2\)
\(9x \leq 18\)
\(x \leq 2\)

Ответ: \(x = 2\).