ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 47 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы неравенств:

1) \(\begin{cases} -3(x — 2) > 2(x — 1) + x — 6, \\ 0,3(x — 1) \leq 2(x + 1,2) + 0,7; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 3 — \frac{4x — 5}{9} < 7x, \\ 2(3x + 1) < 6(x — 2) — 1. \end{cases}\)

1) Решение системы:
Первое неравенство: \(-3(x-2) > 2(x-1) + x — 6\)
Раскрываем скобки и упрощаем: \(-3x + 6 > 2x — 2 + x — 6\), \( -3x + 6 > 3x — 8\), \( -6x > -14\), \(x < \frac{7}{3}\).
Второе неравенство: \(0{,}3(x — 1) \leq 2(x + 1{,}2) + 0{,}7\)
Раскрываем и упрощаем: \(0{,}3x — 0{,}3 \leq 2x + 2{,}4 + 0{,}7\), \(0{,}3x — 2x \leq 3{,}1 + 0{,}3\), \(-1{,}7x \leq 3{,}4\), \(x \geq -2\).
Ответ: \(x \in [-2; \frac{7}{3})\).

2) Решение системы:
Первое неравенство: \(3 — \frac{4x — 5}{9} < 7x\)
Умножаем на 9 и упрощаем: \(27 — 4x + 5 < 63x\), \(32 < 67x\), \(x > \frac{32}{67}\).
Второе неравенство: \(2(3x + 1) < 6(x — 2) — 1\)
Раскрываем: \(6x + 2 < 6x — 12 — 1\), \(2 < -13\) — противоречие.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

1) Рассмотрим первое неравенство системы: \(-3(x — 2) > 2(x — 1) + x — 6\). Раскроем скобки: \(-3x + 6 > 2x — 2 + x — 6\). Сложим правую часть: \(2x + x = 3x\), а числа: \(-2 — 6 = -8\), получаем \(-3x + 6 > 3x — 8\). Переносим все с \(x\) в левую часть, числа в правую: \(-3x — 3x > -8 — 6\), то есть \(-6x > -14\). Делим обе части на \(-6\), меняя знак неравенства: \(x < \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\).

2) Рассмотрим второе неравенство системы: \(0{,}3(x — 1) \leq 2(x + 1{,}2) + 0{,}7\). Раскроем скобки: \(0{,}3x — 0{,}3 \leq 2x + 2{,}4 + 0{,}7\). Сложим числа справа: \(2{,}4 + 0{,}7 = 3{,}1\), получаем \(0{,}3x — 0{,}3 \leq 2x + 3{,}1\). Переносим все с \(x\) в левую часть, числа в правую: \(0{,}3x — 2x \leq 3{,}1 + 0{,}3\), то есть \(-1{,}7x \leq 3{,}4\). Делим обе части на \(-1{,}7\), меняя знак неравенства: \(x \geq -2\).

3) Объединяем результаты первого и второго неравенств первой системы: \(x \in [-2; \frac{7}{3})\).

4) Рассмотрим первую часть второй системы: \(3 — \frac{4x — 5}{9} < 7x\). Умножаем обе части на 9: \(27 — (4x — 5) < 63x\). Раскрываем скобки: \(27 — 4x + 5 < 63x\). Складываем числа слева: \(27 + 5 = 32\), получаем \(32 — 4x < 63x\). Переносим все с \(x\) в правую часть: \(32 < 63x + 4x\), то есть \(32 < 67x\). Делим обе части на 67: \(x > \frac{32}{67}\).

5) Рассмотрим вторую часть второй системы: \(2(3x + 1) < 6(x — 2) — 1\). Раскрываем скобки: \(6x + 2 < 6x — 12 — 1\). Складываем числа справа: \(-12 — 1 = -13\), получаем \(6x + 2 < 6x — 13\). Вычитаем \(6x\) с обеих сторон: \(2 < -13\), что является противоречием.

6) Так как второе неравенство второй системы не имеет решений, то и вся система решений не имеет: \(x \in \emptyset\).