ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 49 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:
1) \(-5 \leq 3x — 2 \leq -2\);
2) \(-9 \leq 6x — 7 \leq 4\)?

1) \(-5 \leq 3x — 2 \leq -2\)
Добавим 2 ко всем частям неравенства:
\(-5 + 2 \leq 3x \leq -2 + 2\)
\(-3 \leq 3x \leq 0\)
Разделим на 3:
\(-1 \leq x \leq 0\)
Целые решения: \(x = -1, 0\)
Ответ: 2

2) \(-9 \leq 6x — 7 \leq 4\)
Добавим 7 ко всем частям неравенства:
\(-9 + 7 \leq 6x \leq 4 + 7\)
\(-2 \leq 6x \leq 11\)
Разделим на 6:
\(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{11}{6}\)
Целые решения: \(x = 0, 1\)
Ответ: 2

1) Рассмотрим двойное неравенство \(-5 \leq 3x — 2 \leq -2\). Это означает, что выражение \(3x — 2\) одновременно должно быть больше или равно \(-5\) и меньше или равно \(-2\). Чтобы упростить неравенство, сначала избавимся от свободного члена \(-2\) в середине, добавив 2 ко всем трём частям неравенства. Таким образом, мы получаем: \(-5 + 2 \leq 3x — 2 + 2 \leq -2 + 2\), то есть \(-3 \leq 3x \leq 0\). Такой приём позволяет перевести неравенство к более простому виду, где переменная \(x\) умножена только на коэффициент.

Далее, чтобы найти \(x\), нужно избавиться от коэффициента 3, на который умножена переменная. Поскольку 3 — положительное число, деление на 3 не меняет направление неравенств. Делим каждую часть неравенства на 3: \(\frac{-3}{3} \leq \frac{3x}{3} \leq \frac{0}{3}\), что даёт \(-1 \leq x \leq 0\). Теперь мы знаем, что \(x\) принимает значения от \(-1\) до 0 включительно.

Нас интересуют целые числа, удовлетворяющие этому условию. Целые числа — это числа без дробной части, и в данном промежутке такими являются \(-1\) и 0. Значит, всего два целых числа подходят под условие неравенства. Ответ: 2.

2) Рассмотрим двойное неравенство \(-9 \leq 6x — 7 \leq 4\). Аналогично первому примеру, здесь выражение \(6x — 7\) должно быть одновременно больше или равно \(-9\) и меньше или равно 4. Начнём с того, что избавимся от свободного члена \(-7\), добавив 7 ко всем частям неравенства: \(-9 + 7 \leq 6x — 7 + 7 \leq 4 + 7\). Получаем \(-2 \leq 6x \leq 11\). Это упрощение помогает нам сосредоточиться на переменной \(x\), умноженной на 6.

Далее, чтобы найти \(x\), разделим все части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, направление неравенств сохраняется. Делим: \(\frac{-2}{6} \leq \frac{6x}{6} \leq \frac{11}{6}\), что даёт \(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{11}{6}\). Теперь мы имеем интервал для \(x\), который начинается чуть меньше нуля и заканчивается немного больше 1,8.

Определим целые числа, которые лежат в этом интервале. Целые числа — это …, \(-1\), 0, 1, 2, … В нашем случае \(x\) может принимать значения от \(-\frac{1}{3}\) до \(\frac{11}{6}\). Значит, целые числа, удовлетворяющие этому условию, — это 0 и 1, так как \(-\frac{1}{3} < 0\) и \(1 < \frac{11}{6}\), а 2 уже больше \(\frac{11}{6}\). Итого два целых решения. Ответ: 2.